两物块A、B用轻弹簧相连，质量均为2kg，最初，A、B两物块-优题课

如图，一平行板电容器的两个极板竖直放置，在两极板间有一带电小球，小球用一绝缘轻线悬挂于O点。先给电容器缓慢充电，使两级板所带电荷量分别为﹢ $Q$ 和﹣ $Q$ ，此时悬线与竖直方向的夹角为π/6。再给电容器缓慢充电，直到悬线和竖直方向的夹角增加到π/3，且小球与两极板不接触。求第二次充电使电容器正极板增加的电荷量。

匀强电场的方向沿 $x$ 轴正向，电场强度 $E$ 随 $x$ 的分布如图所示。图中 $E_{0}$ 和 $d$ 均为已知量。将带正电的质点 $A$ 在 $O$ 点由能止释放。 $A$ 离开电场足够远后，再将另一带正电的质点 $B$ 放在 $O$ 点也由静止释放，当 $B$ 在电场中运动时， $A$ 、 $B$ 间的相互作用力及相互作用能均为零； $B$ 离开电场后， $A$ 、 $B$ 间的相作用视为静电作用。已知 $A$ 的电荷量为Q， $A$ 和 $B$ 的质量分别为 $m$ 和 $\frac{m}{4}$ 。不计重力。

（1）求 $A$ 在电场中的运动时间 $t$ ，

（2）若 $B$ 的电荷量 $q = \frac{4}{9} Q$ ，求两质点相互作用能的最大值 $E_{p m}$ .

（3）为使 $B$ 离开电场后不改变运动方向，求 $B$ 所带电荷量的最大值 $q_{m} $ .

摩天大楼中一部直通高层的客运电梯，行程超过百米。电梯的简化模型如1所示。考虑安全、舒适、省时等因索，电梯的加速度 $a$ 是随时间 $t$ 变化的。已知电梯在 $t = 0$ 时由静止开始上升， $a - t$ 图像如图2所示。电梯总质最 $m = 2.0 \times 10^{3} k g$ 。忽略一切阻力，重力加速度 $g$ 取 $10 m / s^{2}$ 。

（1）求电梯在上升过程中受到的最大拉力 $F_{1}$ 和最小拉力 $F_{2}$ ；
（2）类比是一种常用的研究方法。对于直线运动，教科书中讲解了由 $v - t$ 图像求位移的方法。请你借鉴此方法，对比加速度的和速度的定义，根据图2所示 $a - t$ 图像，求电梯在第 $1 s$ 内的速度改变量 $∆ v_{1}$ 和第 $2 s$ 末的速率 $v_{2}$ ;
（3）求电梯以最大速率上升时，拉力做功的功率 $p$ ：再求在 $0 ~ 11 s$ 时间内，拉力和重力对电梯所做的总功 $W$ 。

如图所示，质量为 $m$ 的小物块在粗糙水平桌面上做直线运动，经距离l后以速度 $v$ 飞离桌面，最终落在水平地面上。已知 $l = 1.4 m$ ， $v = 3.0 m / s$ ， $m = 0.10 k g$ ，物块与桌面间的动摩擦因数 $u = 0.25$ ，桌面高 $h = 0.45 m$ 。不计空气阻力，重力加速度 $g$ 取 $10 m / s^{2}$ 。求

（1）小物块落地点距飞出点的水平距离 $s$

（2）小物块落地时的动能 $E_{k}$

（3）小物块的初速度大小 $v_{0}$

如图所示，装置的左边是足够长的光滑水平面，一轻质弹簧左端固定，右端连接着质量 $M = 2 k g$ 的小物块 $A$ 。装置的中间是水平传送带，它与左右两边的台面等高，并能平滑对接。传送带始终以 $u = 2 m / s$ 的速率逆时针转动。装置的右边是一光滑的曲面，质量 $m = 1 k g$ 的小物块 $B$ 从其上距水平台面h=1.0m处由静止释放。已知物块 $B$ 与传送带之间的摩擦因数 $μ = 0.2$ ， $l = 1.0 m$ 。设物块 $A$ 、 $B$ 中间发生的是对心弹性碰撞，第一次碰撞前物块 $A$ 静止且处于平衡状态。取 $g = 10 m / s^{2}$ 。

（1）求物块 $B$ 与物块 $A$ 第一次碰撞前速度大小；

（2）通过计算说明物块 $B$ 与物块 $A$ 第一次碰撞后能否运动到右边曲面上？

（3）如果物块 $A$ 、 $B$ 每次碰撞后，物块A再回到平衡位置时都会立即被锁定，而当他们再次碰撞前锁定被解除，试求出物块 $B$ 第 $n$ 次碰撞后的运动速度大小。