如图是函数与函数在第一象限内的图象，点是的图象上一动点，轴于-优题课

如图是函数与函数在第一象限内的图象，点是的图象上一动点，轴于点A，交的图象于点，轴于点B，交的图象于点．

（1）求证：D是BP的中点；
（2）求出四边形ODPC的面积．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：平行线分线段成比例

某校组织学生开展为贫困山区孩子捐书活动，要求捐赠的书籍类别为科普类、文学类、漫画类、哲学故事类、环保类，学校图书管理员对所捐赠的书籍随机抽查了部分进行统计，并对获取的数据进行了整理，根据整理结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．已知所统计的数据中，捐赠的哲学故事类书籍和文学类书籍的数量相同．请根据以上信息，解答下列问题：

（1）本次被抽查的书籍有　　册．

（2）补全条形统计图．

（3）若此次捐赠的书籍共1200册，请你估计所捐赠的科普类书籍有多少册．

佳佳文具店购进 $A$ ， $B$ 两种款式的笔袋，其中 $A$ 种笔袋的单价比 $B$ 种袋的单价低 $10 %$ ．已知店主购进 $A$ 种笔袋用了810元，购进 $B$ 种笔袋用了600元，且所购进的 $A$ 种笔袋的数量比 $B$ 种笔袋多20个．请问：文具店购进 $A$ ， $B$ 两种款式的笔袋各多少个？

抛物线 $y = - \frac{2}{9} x^{2} + bx + c$ 与 $x$ 轴交于 $A (- 1, 0)$ ， $B (5, 0)$ 两点，顶点为 $C$ ，对称轴交 $x$ 轴于点 $D$ ，点 $P$ 为抛物线对称轴 $CD$ 上的一动点（点 $P$ 不与 $C$ ， $D$ 重合）．过点 $C$ 作直线 $PB$ 的垂线交 $PB$ 于点 $E$ ，交 $x$ 轴于点 $F$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当 $ΔPCF$ 的面积为5时，求点 $P$ 的坐标；

（3）当 $ΔPCF$ 为等腰三角形时，请直接写出点 $P$ 的坐标．

在 $Rt Δ ABC$ 中， $∠ BCA = 90 °$ ， $∠ A < ∠ ABC$ ， $D$ 是 $AC$ 边上一点，且 $DA = DB$ ， $O$ 是 $AB$ 的中点， $CE$ 是 $ΔBCD$ 的中线．

（1）如图 $a$ ，连接 $OC$ ，请直接写出 $∠ OCE$ 和 $∠ OAC$ 的数量关系：　；

（2）点 $M$ 是射线 $EC$ 上的一个动点，将射线 $OM$ 绕点 $O$ 逆时针旋转得射线 $ON$ ，使 $∠ MON = ∠ ADB$ ， $ON$ 与射线 $CA$ 交于点 $N$ ．

①如图 $b$ ，猜想并证明线段 $OM$ 和线段 $ON$ 之间的数量关系；

②若 $∠ BAC = 30 °$ ， $BC = m$ ，当 $∠ AON = 15 °$ 时，请直接写出线段 $ME$ 的长度（用含 $m$ 的代数式表示）．

如图，点 $P$ 为正方形 $ABCD$ 的对角线 $AC$ 上的一点，连接 $BP$ 并延长交 $CD$ 于点 $E$ ，交 $AD$ 的延长线于点 $F$ ， $⊙ O$ 是 $ΔDEF$ 的外接圆，连接 $DP$ ．

（1）求证： $DP$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）若 $\tan ∠ PDC = \frac{1}{2}$ ，正方形 $ABCD$ 的边长为4，求 $⊙ O$ 的半径和线段 $OP$ 的长．

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