如图，某学校新建了一座吴玉章雕塑，小林站在距离雕塑2.7米的-优题课

如图，在 $ΔABC$ 中， $AC = BC$ ， $∠ ACB = 90 °$ ， $⊙ O$ （圆心 $O$ 在 $ΔABC$ 内部）经过 $B$ 、 $C$ 两点，交 $AB$ 于点 $E$ ，过点 $E$ 作 $⊙ O$ 的切线交 $AC$ 于点 $F$ ．延长 $CO$ 交 $AB$ 于点 $G$ ，作 $ED / / AC$ 交 $CG$ 于点 $D$

（1）求证：四边形 $CDEF$ 是平行四边形；

（2）若 $BC = 3$ ， $\tan ∠ DEF = 2$ ，求 $BG$ 的值．

在直角坐标系中，我们把横、纵坐标都为整数的点称为整点，记顶点都是整点的三角形为整点三角形．如图，已知整点 $A (2, 3)$ ， $B (4, 4)$ ，请在所给网格区域（含边界）上按要求画整点三角形．

（1）在图1中画一个 $ΔPAB$ ，使点 $P$ 的横、纵坐标之和等于点 $A$ 的横坐标；

（2）在图2中画一个 $ΔPAB$ ，使点 $P$ ， $B$ 横坐标的平方和等于它们纵坐标和的4倍．

为培养学生数学学习兴趣，某校七年级准备开设“神奇魔方”、“魅力数独”、“数学故事”、“趣题巧解”四门选修课（每位学生必须且只选其中一门）．

（1）学校对七年级部分学生进行选课调查，得到如图所示的统计图．根据该统计图，请估计该校七年级480名学生选“数学故事”的人数．

（2）学校将选“数学故事”的学生分成人数相等的 $A$ ， $B$ ， $C$ 三个班，小聪、小慧都选择了“数学故事”，已知小聪不在 $A$ 班，求他和小慧被分到同一个班的概率．（要求列表或画树状图）

如图，在五边形 $ABCDE$ 中， $∠ BCD = ∠ EDC = 90 °$ ， $BC = ED$ ， $AC = AD$ ．

（1）求证： $ΔABC ≅ ΔAED$ ；

（2）当 $∠ B = 140 °$ 时，求 $∠ BAE$ 的度数．

在平面直角坐标系中，借助直角三角板可以找到一元二次方程的实数根．比如对于方程 $x^{2} - 5 x + 2 = 0$ ，操作步骤是：

第一步：根据方程的系数特征，确定一对固定点 $A (0, 1)$ ， $B (5, 2)$ ；

第二步：在坐标平面中移动一个直角三角板，使一条直角边恒过点 $A$ ，另一条直角边恒过点 $B$ ；

第三步：在移动过程中，当三角板的直角顶点落在 $x$ 轴上点 $C$ 处时，点 $C$ 的横坐标 $m$ 即为该方程的一个实数根（如图 $1)$ ；

第四步：调整三角板直角顶点的位置，当它落在 $x$ 轴上另一点 $D$ 处时，点 $D$ 的横坐标 $n$ 即为该方程的另一个实数根．

（1）在图2中，按照“第四步”的操作方法作出点 $D$ （请保留作出点 $D$ 时直角三角板两条直角边的痕迹）；

（2）结合图1，请证明“第三步”操作得到的 $m$ 就是方程 $x^{2} - 5 x + 2 = 0$ 的一个实数根；

（3）上述操作的关键是确定两个固定点的位置．若要以此方法找到一元二次方程 $a x^{2} + bx + c = 0 (a \neq 0, b^{2} - 4 ac ⩾ 0)$ 的实数根，请你直接写出一对固定点的坐标；

（4）实际上，（3）中的固定点有无数对，一般地，当 $m_{1}$ ， $n_{1}$ ， $m_{2}$ ， $n_{2}$ 与 $a$ ， $b$ ， $c$ 之间满足怎样的关系时，点 $P (m_{1}$ ， $n_{1})$ ， $Q (m_{2}$ ， $n_{2})$ 就是符合要求的一对固定点？