如图，在直角坐标系中，Rt△OAB的直角顶点A在x轴上，OA-优题课

如图，在直角坐标系中，Rt△OAB的直角顶点A在x轴上，OA=4，AB=3．动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，沿AO向终点O移动；同时点N从点O出发，以每秒1．25个单位长度的速度，沿OB向终点B移动．当两个动点运动了x秒（0＜x＜4）时，解答下列问题：

（1）求点N的坐标（用含x的代数式表示）；
（2）设△OMN的面积是S，求S与x之间的函数表达式；当x为何值时，S有最大值？最大值是多少？
（3）在两个动点运动过程中，是否存在某一时刻，使△OMN是直角三角形？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：相似多边形的性质

某校为了进一步改进本校七年级数学教学，提高学生学习数学的兴趣，校教务处在七年级所有班级中，每班随机抽取了6名学生，并对他们的数学学习情况进行了问卷调查．我们从所调查的题目中，特别把学生对数学学习喜欢程度的回答（喜欢程度分为：" $A -$ 非常喜欢"、" $B -$ 比较喜欢"、" $C -$ 不太喜欢"、" $D -$ 很不喜欢"，针对这个题目，问卷时要求每位被调查的学生必须从中选一项且只能选一项）结果进行了统计，现将统计结果绘制成如下两幅不完整的统计图．

请你根据以上提供的信息，解答下列问题：

（1）补全上面的条形统计图和扇形统计图；

（2）所抽取学生对数学学习喜欢程度的众数是　　；

（3）若该校七年级共有960名学生，请你估算该年级学生中对数学学习"不太喜欢"的有多少人？

如图，已知 $ΔABC$ ， $∠ BAC = 90 °$ ，请用尺规过点 $A$ 作一条直线，使其将 $ΔABC$ 分成两个相似的三角形（保留作图痕迹，不写作法）

问题提出

（1）如图①，在 $ΔABC$ 中， $BC = 6$ ， $D$ 为 $BC$ 上一点， $AD = 4$ ，则 $ΔABC$ 面积的最大值是　　．

问题探究

（2）如图②，已知矩形 $ABCD$ 的周长为12，求矩形 $ABCD$ 面积的最大值．

问题解决

（3）如图③， $ΔABC$ 是葛叔叔家的菜地示意图，其中 $AB = 30$ 米， $BC = 40$ 米， $AC = 50$ 米，现在他想利用周边地的情况，把原来的三角形地拓展成符合条件的面积尽可能大、周长尽可能长的四边形地，用来建鱼塘．已知葛叔叔欲建的鱼塘是四边形 $ABCD$ ，且满足 $∠ ADC = 60 °$ ．你认为葛叔叔的想法能否实现？若能，求出这个四边形鱼塘周长的最大值；若不能，请说明理由．

如图所示，在平面直角坐标系中， $O$ 为坐标原点，且 $ΔAOB$ 是等腰直角三角形， $∠ AOB = 90 °$ ，点 $A (2, 1)$ ．

（1）求点 $B$ 的坐标；

（2）求经过 $A$ 、 $O$ 、 $B$ 三点的抛物线的函数表达式；

（3）在（2）所求的抛物线上，是否存在一点 $P$ ，使四边形 $ABOP$ 的面积最大？若存在，求出点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，已知 $⊙ O$ 的半径为5， $ΔABC$ 是 $⊙ O$ 的内接三角形， $AB = 8$ ，．过点 $B$ 作 $⊙ O$ 的切线 $BD$ ，过点 $A$ 作 $AD ⊥ BD$ ，垂足为 $D$ ．

（1）求证： $∠ BAD + ∠ C = 90 °$

（2）求线段 $AD$ 的长．