甲数的等于乙数的，乙数是60，甲数是多少？-优题课

（1）已知 $- \frac{1}{2} x^{2 m - 1} y^{5}$ 与 $x^{n} y^{m + n}$ 是同类项，求 $m$ 、 $n$ 的值；

（2）先化简后求值： $(\frac{1}{a - 1} - \frac{1}{a + 2}) \div \frac{a}{a^{2} + a - 2}$ ，其中 $a = \sqrt{3}$ ．

已知：如图，在矩形 $ABCD$ 中， $AB = 6 cm$ ， $BC = 8 cm$ ，对角线 $AC$ ， $BD$ 交于点 $O$ ．点 $P$ 从点 $A$ 出发，沿 $AD$ 方向匀速运动，速度为 $1 cm / s$ ；同时，点 $Q$ 从点 $D$ 出发，沿 $DC$ 方向匀速运动，速度为 $1 cm / s$ ；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．连接 $PO$ 并延长，交 $BC$ 于点 $E$ ，过点 $Q$ 作 $QF / / AC$ ，交 $BD$ 于点 $F$ ．设运动时间为 $t (s) (0 < t < 6)$ ，解答下列问题：

（1）当 $t$ 为何值时， $ΔAOP$ 是等腰三角形？

（2）设五边形 $OECQF$ 的面积为 $S (c m^{2})$ ，试确定 $S$ 与 $t$ 的函数关系式；

（3）在运动过程中，是否存在某一时刻 $t$ ，使 $S_{五边形 OECQF} : S_{ΔACD} = 9 : 16$ ？若存在，求出 $t$ 的值；若不存在，请说明理由；

（4）在运动过程中，是否存在某一时刻 $t$ ，使 $OD$ 平分 $∠ COP$ ？若存在，求出 $t$ 的值；若不存在，请说明理由．

问题提出：如何将边长为 $n (n ⩾ 5$ ，且 $n$ 为整数）的正方形分割为一些 $1 x 5$ 或 $2 \times 3$ 的矩形（ $axb$ 的矩形指边长分别为 $a$ ， $b$ 的矩形）？

问题探究：我们先从简单的问题开始研究解决，再把复杂问题转化为已解决的问题．

探究一：

如图①，当 $n = 5$ 时，可将正方形分割为五个 $1 \times 5$ 的矩形．

如图②，当 $n = 6$ 时，可将正方形分割为六个 $2 \times 3$ 的矩形．

如图③，当 $n = 7$ 时，可将正方形分割为五个 $1 \times 5$ 的矩形和四个 $2 \times 3$ 的矩形

如图④，当 $n = 8$ 时，可将正方形分割为八个 $1 \times 5$ 的矩形和四个 $2 \times 3$ 的矩形

如图⑤，当 $n = 9$ 时，可将正方形分割为九个 $1 \times 5$ 的矩形和六个 $2 \times 3$ 的矩形

探究二：

当 $n = 10$ ，11，12，13，14时，分别将正方形按下列方式分割：

所以，当 $n = 10$ ，11，12，13，14时，均可将正方形分割为一个 $5 \times 5$ 的正方形、一个 $(n - 5) \times (n - 5)$ 的正方形和两个 $5 \times (n - 5)$ 的矩形．显然， $5 \times 5$ 的正方形和 $5 \times (n - 5)$ 的矩形均可分割为 $1 \times 5$ 的矩形，而 $(n - 5) \times (n - 5)$ 的正方形是边长分别为5，6，7，8，9的正方形，用探究一的方法可分割为一些 $1 \times 5$ 或 $2 \times 3$ 的矩形．

探究三：

当 $n = 15$ ，16，17，18，19时，分别将正方形按下列方式分割：

请按照上面的方法，分别画出边长为18，19的正方形分割示意图．

所以，当 $n = 15$ ，16，17，18，19时，均可将正方形分割为一个 $10 \times 10$ 的正方形、一个 $(n - 10) \times (n - 10)$ 的正方形和两个 $10 \times (n - 10)$ 的矩形．显然， $10 \times 10$ 的正方形和 $10 \times (n - 10)$ 的矩形均可分割为 $1 x 5$ 的矩形，而 $(n - 10) \times (n - 10)$ 的正方形又是边长分别为5，6，7，8，9的正方形，用探究一的方法可分割为一些 $1 \times 5$ 或 $2 \times 3$ 的矩形．

问题解决：如何将边长为 $n (n ⩾ 5$ ，且 $n$ 为整数）的正方形分割为一些 $1 \times 5$ 或 $2 \times 3$ 的矩形？请按照上面的方法画出分割示意图，并加以说明．

实际应用：如何将边长为61的正方形分割为一些 $1 \times 5$ 或 $2 \times 3$ 的矩形？（只需按照探究三的方法画出分割示意图即可）

某玩具厂生产一种玩具，本着控制固定成本，降价促销的原则，使生产的玩具能够全部售出．据市场调查，若按每个玩具280元销售时，每月可销售300个．若销售单价每降低1元，每月可多售出2个．据统计，每个玩具的固定成本 $Q$ （元）与月产销量 $y$ （个）满足如下关系：

月产销量 $y$ （个）	$\dots$	160	200	240	300	$\dots$
每个玩具的固定成本 $Q$ （元）	$\dots$	60	48	40	32	$\dots$

（1）写出月产销量 $y$ （个）与销售单价 $x$ （元）之间的函数关系式；

（2）求每个玩具的固定成本 $Q$ （元）与月产销量 $y$ （个）之间的函数关系式；

（3）若每个玩具的固定成本为30元，则它占销售单价的几分之几？

（4）若该厂这种玩具的月产销量不超过400个，则每个玩具的固定成本至少为多少元？销售单价最低为多少元？

如图，需在一面墙上绘制几个相同的抛物线型图案．按照图中的直角坐标系，最左边的抛物线可以用 $y = a x^{2} + bx (a \neq 0)$ 表示．已知抛物线上 $B$ ， $C$ 两点到地面的距离均为 $\frac{3}{4} m$ ，到墙边 $OA$ 的距离分别为 $\frac{1}{2} m$ ， $\frac{3}{2} m$ ．

（1）求该拋物线的函数关系式，并求图案最高点到地面的距离；

（2）若该墙的长度为 $10 m$ ，则最多可以连续绘制几个这样的拋物线型图案？