（本题5分）解不等式组．-优题课

如图， $∠ A = ∠ B = 50 °$ ， $P$ 为 $AB$ 中点，点 $M$ 为射线 $AC$ 上（不与点 $A$ 重合）的任意一点，连接 $MP$ ，并使 $MP$ 的延长线交射线 $BD$ 于点 $N$ ，设 $∠ BPN = α$ ．

（1）求证： $ΔAPM ≅ ΔBPN$ ；

（2）当 $MN = 2 BN$ 时，求 $α$ 的度数；

（3）若 $ΔBPN$ 的外心在该三角形的内部，直接写出 $α$ 的取值范围．

如图，阶梯图的每个台阶上都标着一个数，从下到上的第1个至第4个台阶上依次标着 $- 5$ ， $- 2$ ，1，9，且任意相邻四个台阶上数的和都相等．

尝试（1）求前4个台阶上数的和是多少？

（2）求第5个台阶上的数 $x$ 是多少？

应用求从下到上前31个台阶上数的和．

发现试用含 $k (k$ 为正整数）的式子表示出数“1”所在的台阶数．

老师随机抽查了本学期学生读课外书册数的情况，绘制成条形图（图 $1)$ 和不完整的扇形图（图 $2)$ ，其中条形图被墨迹遮盖了一部分．

（1）求条形图中被遮盖的数，并写出册数的中位数；

（2）在所抽查的学生中随机选一人谈读书感想，求选中读书超过5册的学生的概率；

（3）随后又补查了另外几人，得知最少的读了6册，将其与之前的数据合并后，发现册数的中位数没改变，则最多补查了　　人．

嘉淇准备完成题目：发现系数“”印刷不清楚．

（1）他把“”猜成3，请你化简： $(3 x^{2} + 6 x + 8) - (6 x + 5 x^{2} + 2)$ ；

（2）他妈妈说：“你猜错了，我看到该题标准答案的结果是常数．”通过计算说明原题中“”是几？

某厂按用户的月需求量 $x$ （件 $)$ 完成一种产品的生产，其中 $x > 0$ ，每件的售价为18万元，每件的成本 $y$ （万元）是基础价与浮动价的和，其中基础价保持不变，浮动价与月需求量 $x$ （件 $)$ 成反比，经市场调研发现，月需求量 $x$ 与月份 $n (n$ 为整数， $1 ⩽ n ⩽ 12)$ ，符合关系式 $x = 2 n^{2} - 2 kn + 9 (k + 3) (k$ 为常数），且得到了表中的数据．

月份 $n$ （月 $)$	1	2
成本 $y$ （万元 $/$ 件）	11	12
需求量 $x$ （件 $/$ 月）	120	100

（1）求 $y$ 与 $x$ 满足的关系式，请说明一件产品的利润能否是12万元；

（2）求 $k$ ，并推断是否存在某个月既无盈利也不亏损；

（3）在这一年12个月中，若第 $m$ 个月和第 $(m + 1)$ 个月的利润相差最大，求 $m$ ．