（本题10分）如图，中，AD是高，E、F分别是AB、AC的中-优题课

（本题10分）如图，中，AD是高，E、F分别是AB、AC的中点。

（1）若，，求四边形AEDF的周长；
（2）求证：EF垂直平分AD。

科目数学题型解答题难度中等

知识点：三角形的五心

如图，点 $E$ ， $F$ 在 $▱ ABCD$ 的边 $BC$ ， $AD$ 上， $BE = \frac{1}{3} BC$ ， $FD = \frac{1}{3} AD$ ，连接 $BF$ ， $DE$ ．

求证：四边形 $BEDF$ 是平行四边形．

计算： ${(\frac{1}{2})}^{- 1} + 2 \cos 60 ° - {(4 - π)}^{0} + | - \sqrt{3} |$ ．

某校开展了一次综合实践活动，参加该活动的每个学生持有两张宽为 $6 cm$ ，长足够的矩形纸条．探究两张纸条叠放在一起，重叠部分的形状和面积．

如图1所示，一张纸条水平放置不动，另一张纸条与它成 $45 °$ 的角，将该纸条从右往左平移．

（1）写出在平移过程中，重叠部分可能出现的形状．

（2）当重叠部分的形状为如图2所示的四边形 $ABCD$ 时，求证：四边形 $ABCD$ 是菱形．

（3）设平移的距离为 $xcm (0 < x ⩽ 6 + 6 \sqrt{2})$ ，两张纸条重叠部分的面积为 $sc m^{2}$ ．求 $s$ 与 $x$ 的函数关系式，并求 $s$ 的最大值．

在平面直角坐标系 $xOy$ 中，等腰直角 $ΔABC$ 的直角顶点 $C$ 在 $y$ 轴上，另两个顶点 $A$ ， $B$ 在 $x$ 轴上，且 $AB = 4$ ，抛物线经过 $A$ ， $B$ ， $C$ 三点，如图1所示．

（1）求抛物线所表示的二次函数表达式．

（2）过原点任作直线 $l$ 交抛物线于 $M$ ， $N$ 两点，如图2所示．

①求 $ΔCMN$ 面积的最小值．

②已知 $Q (1, - \frac{3}{2})$ 是抛物线上一定点，问抛物线上是否存在点 $P$ ，使得点 $P$ 与点 $Q$ 关于直线 $l$ 对称，若存在，求出点 $P$ 的坐标及直线 $l$ 的一次函数表达式；若不存在，请说明理由．

如图， $ΔABC$ 内接于 $⊙ O$ ， $AB$ 是 $⊙ O$ 的直径， $BD$ 与 $⊙ O$ 相切于点 $B$ ， $BD$ 交 $AC$ 的延长线于点 $D$ ， $E$ 为 $BD$ 的中点，连接 $CE$ ．

（1）求证： $CE$ 是 $⊙ O$ 的切线．

（2）已知 $BD = 3 \sqrt{5}$ ， $CD = 5$ ，求 $O$ ， $E$ 两点之间的距离．