(本小题满分13分)某高校在上学期依次举行了“法律、环保、交通”三次知识竞赛活动,要求每位同学至少参加一次活动.该高校2014级某班50名学生在上学期参加该项活动的次数统计如图所示
(1)从该班中任意选两名学生,求他们参加活动次数不相等的概率.
(2)从该班中任意选两名学生,用表示这两人参加活动次数之差的绝对值,求随机变量
的分布列及数学期望
.
(3)从该班中任意选两名学生,用表示这两人参加活动次数之和,记“函数
在区间(3,5)上有且只有一个零点”为事件A,求事件A发生的概率.
(满分13分)已知且
(1)求的表达式;
(2)判断的奇偶性与单调性,并给出必要的说明;
(3)当的定义域为
时,如果
恒成立,求实数
的取值范围.
(满分12分)有时可用函数
描述学习某学科知识的掌握程度.其中表示某学科知识的学习次数(
),
表示对该学科知识的掌握程度,正实数a与学科知识有关.
(1)证明:当时,掌握程度的增长量
总是下降;
(2)根据经验,学科甲、乙、丙对应的的取值区间分别为(115,121],(121,127], (127,133].当学习次数相同
时,请确定学科甲、乙、丙在学习中的掌握程度的高低,并说明理由.
(满分12分) 函数的定义域为(0,1](
为实数).
(1)当时,求函数
的值域,
(2)当时,求函数
在
上的最小值,并求出函数取最小值时
的值.
(满分12分)设全集合求
.
已知直线:
,直线
:
,其中
,
.
(1)求直线的概率;
(2)求直线与
的交点位于第一象限的概率.