我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”.例如图1，图2，图3中，AF，BE是△ABC的中线， AF⊥BE ， 垂足为P.像△ABC这样的三角形均为“中垂三角形”.设
，
，
.
特例探索
（1）如图1，当∠
=45°，
时，= ，
；
如图2，当∠=30°，
时， = ， ；
归纳证明
（2）请你观察（1）中的计算结果，猜想
三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你发现的关系式；
拓展应用
（3）如图4，在□ABCD中，点E，F，G分别是AD，BC，CD的中点，BE⊥EG， AD= 
，AB=3.求AF的长.
如图，已知三棱锥
，
，
分别为
的中点，且
为正三角形.
（Ⅰ）求证：
平面
；
（Ⅱ）若
，
，求点
到平面
的距离.
2012年伦敦奥运会前夕，在海滨城市青岛举行了一场奥运选拔赛，其中甲、乙两名运动员为争取最后一个参赛名额进行了7轮比赛,得分的情况如茎叶图所示（单位：分）.
| 甲 |
乙 |
|
| 8 |
7 |
9 |
| 5 4 5 4 1 |
8 |
4 4 6 7 4 |
| 1 |
9 |
1 |
（Ⅰ）分别求甲、乙两名运动员比赛成绩的平均分与方差；
（Ⅱ）若从甲运动员的7轮比赛的得分中任选3个不低于80分且不高于90分的得分，求这3个得分与其平均分的差的绝对值都不超过2的概率.
已知公差不为零的等差数列
中，
，且
成等比数列.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）令
（
），求数列
的前
项和
.
已知椭圆C：
其左、右焦点分别为F1、F2，点P是坐标平面内一点，且|OP|=
（O为坐标原点）。
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点
l交椭圆于A、B两点，在y轴上是否存在定点M，使以AB为直径的圆恒过这个点：若存在，求出M的坐标；若不存在，说明理由。
如图所示，流程图给出了无穷等差整数列
，
时，输出的
时，输出的
（其中d为公差）
（I）求数列
的通项公式；
（II）是否存在最小的正数m，使得
成立？若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由。