（本题6分）（1）计算：；（2）化简：-优题课

已知二次函数 $y = x^{2} + x + a$ 的图象与 $x$ 轴交于 $A (x_{1}$ ， $0)$ 、 $B (x_{2}$ ， $0)$ 两点，且 $\frac{1}{x_{1}^{2}} + \frac{1}{x_{2}^{2}} = 1$ ，求 $a$ 的值．

如图，点 $D$ 是以 $AB$ 为直径的 $⊙ O$ 上一点，过点 $B$ 作 $⊙ O$ 的切线，交 $AD$ 的延长线于点 $C$ ， $E$ 是 $BC$ 的中点，连接 $DE$ 并延长与 $AB$ 的延长线交于点 $F$ ．

（1）求证： $DF$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）若 $OB = BF$ ， $EF = 4$ ，求 $AD$ 的长．

某校初中部举行诗词大会预选赛，学校对参赛同学获奖情况进行统计，绘制了如下两幅不完整的统计图．请结合图中相关数据解答下列问题：

（1）参加此次诗词大会预选赛的同学共有　　人；

（2）在扇形统计图中，“三等奖”所对应的扇形的圆心角的度数为　　；

（3）将条形统计图补充完整；

（4）若获得一等奖的同学中有 $\frac{1}{4}$ 来自七年级， $\frac{1}{2}$ 来自九年级，其余的来自八年级，学校决定从获得一等奖的同学中任选两名同学参加全市诗词大会比赛，请通过列表或树状图方法求所选两名同学中，恰好是一名七年级和一名九年级同学的概率．

如图，正方形 $ABCD$ 的对角线 $AC$ 、 $BD$ 相交于点 $O$ ， $E$ 是 $OC$ 上一点，连接 $EB$ ．过点 $A$ 作 $AM ⊥ BE$ ，垂足为 $M$ ， $AM$ 与 $BD$ 相交于点 $F$ ．求证： $OE = OF$ ．

先化简，再求值： ${(a + 3)}^{2} - (a + 1) (a - 1) - 2 (2 a + 4)$ ，其中 $a = - \frac{1}{2}$ ．