解不等式组：-优题课

如图，在 $Rt Δ ABC$ 中，点 $O$ 在斜边 $AB$ 上，以 $O$ 为圆心， $OB$ 为半径作圆，分别与 $BC$ ， $AB$ 相交于点 $D$ ， $E$ ，连接 $AD$ ．已知 $∠ CAD = ∠ B$ ．

（1）求证： $AD$ 是 $⊙ O$ 的切线．

（2）若 $BC = 8$ ， $\tan B = \frac{1}{2}$ ，求 $⊙ O$ 的半径．

为了解朝阳社区 $20 ~ 60$ 岁居民最喜欢的支付方式，某兴趣小组对社区内该年龄段的部分居民展开了随机问卷调查（每人只能选择其中一项），并将调查数据整理后绘成如下两幅不完整的统计图．请根据图中信息解答下列问题：

（1）求参与问卷调查的总人数．

（2）补全条形统计图．

（3）该社区中 $20 ~ 60$ 岁的居民约8000人，估算这些人中最喜欢微信支付方式的人数．

已知， $ΔABC$ 中， $∠ B = ∠ C$ ， $P$ 是 $BC$ 边上一点，作 $∠ CPE = ∠ BPF$ ，分别交边 $AC$ ， $AB$ 于点 $E$ ， $F$ ．

（1）若 $∠ CPE = ∠ C$ （如图 $1)$ ，求证： $PE + PF = AB$ ．

（2）若 $∠ CPE \neq ∠ C$ ，过点 $B$ 作 $∠ CBD = ∠ CPE$ ，交 $CA$ （或 $CA$ 的延长线）于点 $D$ ．试猜想：线段 $PE$ ， $PF$ 和 $BD$ 之间的数量关系，并就 $∠ CPE > ∠ C$ 情形（如图 $2)$ 说明理由．

（3）若点 $F$ 与 $A$ 重合（如图 $3)$ ， $∠ C = 27 °$ ，且 $PA = AE$ ．

①求 $∠ CPE$ 的度数；

②设 $PB = a$ ， $PA = b$ ， $AB = c$ ，试证明： $b = \frac{a^{2} - c^{2}}{c}$ ．

我们定义：如果一个三角形一条边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做“等高底”三角形，这条边叫做这个三角形的“等底”．

（1）概念理解：

如图1，在 $ΔABC$ 中， $AC = 6$ ， $BC = 3$ ， $∠ ACB = 30 °$ ，试判断 $ΔABC$ 是否是”等高底”三角形，请说明理由．

（2）问题探究：

如图2， $ΔABC$ 是“等高底”三角形， $BC$ 是”等底”，作 $ΔABC$ 关于 $BC$ 所在直线的对称图形得到△ $A^{'} BC$ ，连接 $AA'$ 交直线 $BC$ 于点 $D$ ．若点 $B$ 是△ $AA' C$ 的重心，求 $\frac{AC}{BC}$ 的值．

（3）应用拓展：

如图3，已知 $l_{1} / / l_{2}$ ， $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 之间的距离为2．“等高底” $ΔABC$ 的“等底” $BC$ 在直线 $l_{1}$ 上，点 $A$ 在直线 $l_{2}$ 上，有一边的长是 $BC$ 的 $\sqrt{2}$ 倍．将 $ΔABC$ 绕点 $C$ 按顺时针方向旋转 $45 °$ 得到△ $A^{'} B^{'} C$ ， $A' C$ 所在直线交 $l_{2}$ 于点 $D$ ．求 $CD$ 的值．

已知，点 $M$ 为二次函数 $y = - {(x - b)}^{2} + 4 b + 1$ 图象的顶点，直线 $y = mx + 5$ 分别交 $x$ 轴正半轴， $y$ 轴于点 $A$ ， $B$ ．

（1）判断顶点 $M$ 是否在直线 $y = 4 x + 1$ 上，并说明理由．

（2）如图1，若二次函数图象也经过点 $A$ ， $B$ ，且 $mx + 5 > - {(x - b)}^{2} + 4 b + 1$ ，根据图象，写出 $x$ 的取值范围．

（3）如图2，点 $A$ 坐标为 $(5, 0)$ ，点 $M$ 在 $ΔAOB$ 内，若点 $C (\frac{1}{4}$ ， $y_{1})$ ， $D (\frac{3}{4}$ ， $y_{2})$ 都在二次函数图象上，试比较 $y_{1}$ 与 $y_{2}$ 的大小．