先化简，再求值：，其中，．-优题课

如图，在 $⊙ O$ 中， $AB$ 为直径，点 $C$ 为圆上一点，延长 $AB$ 到点 $D$ ，使 $CD = CA$ ，且 $∠ D = 30 °$ ．

（1）求证： $CD$ 是 $⊙ O$ 的切线．

（2）分别过 $A$ 、 $B$ 两点作直线 $CD$ 的垂线，垂足分别为 $E$ 、 $F$ 两点，过 $C$ 点作 $AB$ 的垂线，垂足为点 $G$ ．求证： $C G^{2} = AE \cdot BF$ ．

某商店计划采购甲、乙两种不同型号的平板电脑共20台，已知甲型平板电脑进价1600元，售价2000元；乙型平板电脑进价为2500元，售价3000元．

（1）设该商店购进甲型平板电脑 $x$ 台，请写出全部售出后该商店获利 $y$ 与 $x$ 之间函数表达式．

（2）若该商店采购两种平板电脑的总费用不超过39200元，全部售出所获利润不低于8500元，请设计出所有采购方案，并求出使商店获得最大利润的采购方案及最大利润．

定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做垂等四边形．

（1）下面四边形是垂等四边形的是　　；（填序号）

①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形

（2）图形判定：如图1，在四边形 $ABCD$ 中， $AD / / BC$ ， $AC ⊥ BD$ ，过点 $D$ 作 $BD$ 垂线交 $BC$ 的延长线于点 $E$ ，且 $∠ DBC = 45 °$ ，证明：四边形 $ABCD$ 是垂等四边形．

（3）由菱形面积公式易知性质：垂等四边形的面积等于两条对角线乘积的一半．应用：在图2中，面积为24的垂等四边形 $ABCD$ 内接于 $⊙ O$ 中， $∠ BCD = 60 °$ ．求 $⊙ O$ 的半径．

如图，某数学兴趣小组为测量一棵古树的高度，在距离古树 $A$ 点处测得古树顶端 $D$ 的仰角为 $30 °$ ，然后向古树底端 $C$ 步行20米到达点 $B$ 处，测得古树顶端 $D$ 的仰角为 $45 °$ ，且点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 在同一直线上，求古树 $CD$ 的高度．（已知： $\sqrt{2} \approx 1.414$ ， $\sqrt{3} \approx 1.732$ ，结果保留整数）

为了丰富学生们的课余生活，学校准备开展第二课堂，有四类课程可供选择，分别是" $A$ ．书画类、 $B$ ．文艺类、 $C$ ．社会实践类、 $D$ ．体育类"．现随机抽取了七年级部分学生对报名意向进行调查，并根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图，请你根据图表信息回答下列问题：

（1）本次被抽查的学生共有　　名，扇形统计图中" $A$ ．书画类"所占扇形的圆心角的度数为　　度；

（2）请你将条形统计图补全；

（3）若该校七年级共有600名学生，请根据上述调查结果估计该校学生选择" $C$ ．社会实践类"的学生共有多少名？

（4）本次调查中抽中了七（1）班王芳和小颖两名学生，请用列表法或画树状图法求她们选择同一个项目的概率．