为发扬中华民族传统美德，弘扬社会正气，倡导见义勇为，我国于1-优题课

为发扬中华民族传统美德，弘扬社会正气，倡导见义勇为，我国于1993年6月1日成立中华见义勇为基金会，我市甲、乙两公司为“中华见义勇为基金会”各捐款18000元，已知甲公司的人数比乙公司的人数少25%，且甲公司比乙公司人均多捐款30元，问甲、乙公司各有多少人？

科目数学题型解答题难度较易

新学期，某校开设了“防疫宣传”“心理疏导”等课程．为了解学生对新开设课程的掌握情况，从八年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次综合测试．测试结果分为四个等级： $A$ 级为优秀， $B$ 级为良好， $C$ 级为及格， $D$ 级为不及格．将测试结果绘制了如图两幅不完整的统计图．根据统计图中的信息解答下列问题：

（1）本次抽样测试的学生人数是　　名；

（2）扇形统计图中表示 $A$ 级的扇形圆心角 $α$ 的度数是　　，并把条形统计图补充完整；

（3）该校八年级共有学生500名，如果全部参加这次测试，估计优秀的人数为　　；

（4）某班有4名优秀的同学（分别记为 $E$ 、 $F$ 、 $G$ 、 $H$ ，其中 $E$ 为小明），班主任要从中随机选择两名同学进行经验分享．利用列表法或画树状图法，求小明被选中的概率．

规定：在平面内，如果一个图形绕一个定点旋转一定的角度 $α (0 ° < α ⩽ 180 °)$ 后能与自身重合，那么就称这个图形是旋转对称图形，转动的这个角度 $α$ 称为这个图形的一个旋转角．例如：正方形绕着两条对角线的交点 $O$ 旋转 $90 °$ 或 $180 °$ 后，能与自身重合（如图 $1)$ ，所以正方形是旋转对称图形，且有两个旋转角．

根据以上规定，回答问题：

（1）下列图形是旋转对称图形，但不是中心对称图形的是　　；

$A$ ．矩形

$B$ ．正五边形

$C$ ．菱形

$D$ ．正六边形

（2）下列图形中，是旋转对称图形，且有一个旋转角是60度的有：　　（填序号）；

（3）下列三个命题：①中心对称图形是旋转对称图形；②等腰三角形是旋转对称图形；③圆是旋转对称图形．

其中真命题的个数有　　个；

$A$ ．0

$B$ ．1

$C$ ．2

$D$ ．3

（4）如图2的旋转对称图形由等腰直角三角形和圆构成，旋转角有 $45 °$ ， $90 °$ ， $135 °$ ， $180 °$ ，将图形补充完整．

（1）计算 ${(- 2)}^{2} - | - \sqrt{2} | - 2 \cos 45 ° + {(2020 - π)}^{0}$ ；

（2）先化简，再求值： $(\frac{2}{a + 1} + \frac{a + 2}{a^{2} - 1}) \div \frac{a}{a - 1}$ ，其中 $a = \sqrt{5} - 1$ ．

如图1，在平面直角坐标系中，直线 $l_{1} : y = x + 1$ 与直线 $l_{2} : x = - 2$ 相交于点 $D$ ，点 $A$ 是直线 $l_{2}$ 上的动点，过点 $A$ 作 $AB ⊥ l_{1}$ 于点 $B$ ，点 $C$ 的坐标为 $(0, 3)$ ，连接 $AC$ ， $BC$ ．设点 $A$ 的纵坐标为 $t$ ， $ΔABC$ 的面积为 $s$ ．

（1）当 $t = 2$ 时，请直接写出点 $B$ 的坐标；

（2） $s$ 关于 $t$ 的函数解析式为 $s = \{\begin{matrix} \frac{1}{4} t^{2} + bt - \frac{5}{4}, t 〈- 1 或 t〉 5 \\ a (t + 1) (t - 5), - 1 < t < 5 \end{matrix}$ ，其图象如图2所示，结合图1、2的信息，求出 $a$ 与 $b$ 的值；

（3）在 $l_{2}$ 上是否存在点 $A$ ，使得 $ΔABC$ 是直角三角形？若存在，请求出此时点 $A$ 的坐标和 $ΔABC$ 的面积；若不存在，请说明理由．

如图，在 $ΔACE$ 中，以 $AC$ 为直径的 $⊙ O$ 交 $CE$ 于点 $D$ ，连接 $AD$ ，且 $∠ DAE = ∠ ACE$ ，连接 $OD$ 并延长交 $AE$ 的延长线于点 $P$ ， $PB$ 与 $⊙ O$ 相切于点 $B$ ．

（1）求证： $AP$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）连接 $AB$ 交 $OP$ 于点 $F$ ，求证： $ΔFAD ∽ ΔDAE$ ；

（3）若 $\tan ∠ OAF = \frac{1}{2}$ ，求 $\frac{AE}{AP}$ 的值．