（本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系中，点在单位圆上，-优题课

（本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系中，点在单位圆上，，且．

（1）若，求的值；
（2）若也是单位圆上的点，且．过点分别做轴的垂线，垂足为，记的面积为，的面积为．设，求函数的最大值．

科目数学题型解答题难度较易

$C$ 已知椭圆 $C$ : $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ $(a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ 短轴一个端点到右焦点的距离为 $\sqrt{3}$ .
(Ⅰ)求椭圆 $C$ 的方程;
(Ⅱ)设直线 $l$ 与椭圆C交于 $A, B$ 两点，坐标原点 $O$ 到直线 $l$ 的距离为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，求 $△ A B C$ 面积的最大值.

设函数 $f (x) = \frac{c^{2}}{x^{2} + a x + a}$ ,其中 $a$ 为实数.
(Ⅰ)若 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ,求 $a$ 的取值范围;
(Ⅱ)当 $f (x)$ 的定义域为 $R$ 时,求 $f (x)$ 的单减区间.

如图,在底面为直角梯形的四棱锥 $P - A B C D$ 中， $A D / / B C$ , $∠ A B C = 90 °$ , $P A ⊥ 平面$ ， $P A = 4$ , $A D = 2$ , $A B = 2 \sqrt{3}$ , $B C = 6$ .

(Ⅰ)求证: $B D ⊥ 平面 P A C$ ;

(Ⅱ)求二面角 $P - B D - D$ 的大小.

某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考试，否则即被淘汰，已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为 $\frac{4}{5}$ 、 $\frac{3}{5}$ 、 $\frac{2}{5}$ ，且各轮问题能否正确回答互不影响.
（Ⅰ）求该选手被淘汰的概率；
（Ⅱ）该选手在选拔中回答问题的个数记为 $ζ$ ，求随机变量 $ζ$ 的分布列与数数期望.（注：本小题结果可用分数表示）

设函数 $f (x) = a - b$ ,其中向量 $a = (m, \cos 2 x), b = (1 + \sin 2 x, 1), x \in R$ 且函数 $y = f (x)$ 的图象经过点， $(\frac{π}{4}, 2)$

（Ⅰ）求实数m的值；
（Ⅱ）求函数 $f (x)$ 的最小值及此时x的值的集合.

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