如图，在△ABC中，ABAC，点D是边BC的中点，过点A、D-优题课

如图，在 $ΔABC$ 和 $ΔDCE$ 中， $AC = DE$ ， $∠ B = ∠ DCE = 90 °$ ，点 $A$ ， $C$ ， $D$ 依次在同一直线上，且 $AB / / DE$ ．

（1）求证： $ΔABC ≅ ΔDCE$ ．

（2）连结 $AE$ ，当 $BC = 5$ ， $AC = 12$ 时，求 $AE$ 的长．

（1）计算： $\sqrt{4} - | - 2 | + {(\sqrt{6})}^{0} - (- 1)$ ．

（2）化简： ${(x - 1)}^{2} - x (x + 7)$ ．

用各种盛水容器可以制作精致的家用流水景观（如图 $1)$ ．

科学原理：如图2，始终盛满水的圆柱体水桶水面离地面的高度为 $H$ （单位： $cm)$ ，如果在离水面竖直距离为 $h$ （单位： $cm)$ 的地方开大小合适的小孔，那么从小孔射出水的射程（水流落地点离小孔的水平距离） $s$ （单位： $cm)$ 与 $h$ 的关系式为 $s^{2} = 4 h (H - h)$ ．

应用思考：现用高度为 $20 cm$ 的圆柱体塑料水瓶做相关研究，水瓶直立地面，通过连续注水保证它始终盛满水，在离水面竖直距离 $hcm$ 处开一个小孔．

（1）写出 $s^{2}$ 与 $h$ 的关系式；并求出当 $h$ 为何值时，射程 $s$ 有最大值，最大射程是多少？

（2）在侧面开两个小孔，这两个小孔离水面的竖直距离分别为 $a$ ， $b$ ，要使两孔射出水的射程相同，求 $a$ ， $b$ 之间的关系式；

（3）如果想通过垫高塑料水瓶，使射出水的最大射程增加 $16 cm$ ，求垫高的高度及小孔离水面的竖直距离．

如图，在 $ΔABC$ 中， $∠ ACB = 90 °$ ，将 $ΔABC$ 沿直线 $AB$ 翻折得到 $ΔABD$ ，连接 $CD$ 交 $AB$ 于点 $M$ ． $E$ 是线段 $CM$ 上的点，连接 $BE$ ． $F$ 是 $ΔBDE$ 的外接圆与 $AD$ 的另一个交点，连接 $EF$ ， $BF$ ．

（1）求证： $ΔBEF$ 是直角三角形；

（2）求证： $ΔBEF ∽ ΔBCA$ ；

（3）当 $AB = 6$ ， $BC = m$ 时，在线段 $CM$ 上存在点 $E$ ，使得 $EF$ 和 $AB$ 互相平分，求 $m$ 的值．

新冠疫情期间，某校开展线上教学，有“录播”和“直播”两种教学方式供学生选择其中一种．为分析该校学生线上学习情况，在接受这两种教学方式的学生中各随机抽取40人调查学习参与度，数据整理结果如表（数据分组包含左端值不包含右端值）．

参与度

人数

方式

$0.2 ~ 0.4$

$0.4 ~ 0.6$

$0.6 ~ 0.8$

$0.8 ~ 1$

录播

4

16

12

8

直播

2

10

16

12

（1）你认为哪种教学方式学生的参与度更高？简要说明理由．

（2）从教学方式为“直播”的学生中任意抽取一位学生，估计该学生的参与度在0.8及以上的概率是多少？

（3）该校共有800名学生，选择“录播”和“直播”的人数之比为 $1 : 3$ ，估计参与度在0.4以下的共有多少人？