计算：．-优题课

如图，在平面直角坐标系中，已知 $ΔABC$ 的三个顶点的坐标分别为 $A (- 3, 5)$ ， $B (- 2, 1)$ ， $C (- 1, 3)$ ．

（1）若 $ΔABC$ 经过平移后得到△ $A_{1} B_{1} C_{1}$ ，已知点 $C_{1}$ 的坐标为 $(4, 0)$ ，写出顶点 $A_{1}$ ， $B_{1}$ 的坐标；

（2）若 $ΔABC$ 和△ $A_{2} B_{2} C_{2}$ 关于原点 $O$ 成中心对称图形，写出△ $A_{2} B_{2} C_{2}$ 的各顶点的坐标；

（3）将 $ΔABC$ 绕着点 $O$ 按顺时针方向旋转 $90 °$ 得到△ $A_{3} B_{3} C_{3}$ ，写出△ $A_{3} B_{3} C_{3}$ 的各顶点的坐标．

计算： $(\frac{x + 8}{x^{2} - 4} - \frac{2}{x - 2}) \div \frac{x - 4}{x^{2} - 4 x + 4}$ ．

如图，二次函数 $y = a x^{2} + bx + c$ 的图象经过点 $A (- 1, 0)$ ， $B (4, 0)$ ， $C (- 2, - 3)$ ，直线 $BC$ 与 $y$ 轴交于点 $D$ ， $E$ 为二次函数图象上任一点．

（1）求这个二次函数的解析式；

（2）若点 $E$ 在直线 $BC$ 的上方，过 $E$ 分别作 $BC$ 和 $y$ 轴的垂线，交直线 $BC$ 于不同的两点 $F$ ， $G (F$ 在 $G$ 的左侧），求 $ΔEFG$ 周长的最大值；

（3）是否存在点 $E$ ，使得 $ΔEDB$ 是以 $BD$ 为直角边的直角三角形？如果存在，求点 $E$ 的坐标；如果不存在，请说明理由．

为迎接“国家卫生城市”复检，某市环卫局准备购买 $A$ 、 $B$ 两种型号的垃圾箱，通过市场调研得知：购买3个 $A$ 型垃圾箱和2个 $B$ 型垃圾箱共需540元；购买2个 $A$ 型垃圾箱比购买3个 $B$ 型垃圾箱少用160元．

（1）每个 $A$ 型垃圾箱和 $B$ 型垃圾箱各多少元？

（2）现需要购买 $A$ ， $B$ 两种型号的垃圾箱共300个，分别由甲、乙两人进行安装，要求在12天内完成（两人同时进行安装）．已知甲负责 $A$ 型垃圾箱的安装，每天可以安装15个，乙负责 $B$ 型垃圾箱的安装，每天可以安装20个，生产厂家表示若购买 $A$ 型垃圾箱不少于150个时，该型号的产品可以打九折；若购买 $B$ 型垃圾箱超过150个时，该型号的产品可以打八折，若既能在规定时间内完成任务，费用又最低，应购买 $A$ 型和 $B$ 型垃圾箱各多少个？最低费用是多少元？

某体育场看台的坡面 $AB$ 与地面的夹角是 $37 °$ ，看台最高点 $B$ 到地面的垂直距离 $BC$ 为3.6米，看台正前方有一垂直于地面的旗杆 $DE$ ，在 $B$ 点用测角仪测得旗杆的最高点 $E$ 的仰角为 $33 °$ ，已知测角仪 $BF$ 的高度为1.6米，看台最低点 $A$ 与旗杆底端 $D$ 之间的距离为16米（ $C$ ， $A$ ， $D$ 在同一条直线上）．

（1）求看台最低点 $A$ 到最高点 $B$ 的坡面距离；

（2）一面红旗挂在旗杆上，固定红旗的上下两个挂钩 $G$ 、 $H$ 之间的距离为1.2米，下端挂钩 $H$ 与地面的距离为1米，要求用30秒的时间将红旗升到旗杆的顶端，求红旗升起的平均速度（计算结果保留两位小数） $(\sin 37 ° \approx 0.6$ ， $\cos 37 ° \approx 0.8$ ， $\tan 37 ° \approx 0.75$ ， $\sin 33 ° \approx 0.54$ ， $\cos 33 ° \approx 0.84$ ， $\tan 33 ° \approx 0.65)$