解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来．-优题课

小明要测量公园被湖水隔开的两棵大树 $A$ 和 $B$ 之间的距离，他在 $A$ 处测得大树 $B$ 在 $A$ 的北偏西 $30 °$ 方向，他从 $A$ 处出发向北偏东 $15 °$ 方向走了200米到达 $C$ 处，测得大树 $B$ 在 $C$ 的北偏西 $60 °$ 方向．

（1）求 $∠ ABC$ 的度数；

（2）求两棵大树 $A$ 和 $B$ 之间的距离（结果精确到1米）（参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.414$ ， $\sqrt{3} \approx 1.732$ ， $\sqrt{6} \approx 2.449)$

如图， $AB$ 是 $⊙ O$ 的直径，点 $C$ 是 $⊙ O$ 上一点，连接 $AC$ ， $∠ MAC = ∠ CAB$ ，作 $CD ⊥ AM$ ，垂足为 $D$ ．

（1）求证： $CD$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）若 $∠ ACD = 30 °$ ， $AD = 4$ ，求图中阴影部分的面积．

某电视台为了解本地区电视节目的收视情况，对部分观众开展了“你最喜爱的电视节目”的问卷调查（每人只填写一项），根据收集的数据绘制了下面两幅不完整的统计图，根据要求回答下列问题：

（1）本次问卷调查共调查了　　名观众；

（2）图②中最喜爱“新闻节目”的人数占调查总人数的百分比为　　，“综艺节目”在扇形统计图中所对应的圆心角的度数为　　；

（3）补全图①中的条形统计图；

（4）现有最喜爱“新闻节目”（记为 $A)$ ，“体育节目”（记为 $B)$ ，“综艺节目”（记为 $C)$ ，“科普节目”（记为 $D)$ 的观众各一名，电视台要从四人中随机抽取两人参加联谊活动，请用列表或画树状图的方法，求出恰好抽到最喜爱“ $B$ ”和“ $C$ ”两位观众的概率．

如图， $AE / / BF$ ， $AC$ 平分 $∠ BAE$ ，且交 $BF$ 于点 $C$ ， $BD$ 平分 $∠ ABF$ ，且交 $AE$ 于点 $D$ ， $AC$ 与 $BD$ 相交于点 $O$ ，连接 $CD$

（1）求 $∠ AOD$ 的度数；

（2）求证：四边形 $ABCD$ 是菱形．

如图，抛物线 $y = a x^{2} + bx$ 过 $A (4, 0)$ ， $B (1, 3)$ 两点，点 $C$ 、 $B$ 关于抛物线的对称轴对称，过点 $B$ 作直线 $BH ⊥ x$ 轴，交 $x$ 轴于点 $H$ ．

（1）求抛物线的表达式；

（2）直接写出点 $C$ 的坐标，并求出 $ΔABC$ 的面积；

（3）点 $P$ 是抛物线上一动点，且位于第四象限，当 $ΔABP$ 的面积为6时，求出点 $P$ 的坐标；

（4）若点 $M$ 在直线 $BH$ 上运动，点 $N$ 在 $x$ 轴上运动，当以点 $C$ 、 $M$ 、 $N$ 为顶点的三角形为等腰直角三角形时，请直接写出此时 $ΔCMN$ 的面积．