李老师为了了解所教班级学生完成数学课前预习的具体情况，对本班-优题课

李老师为了了解所教班级学生完成数学课前预习的具体情况，对本班部分学生进行了为期半个月的跟踪调查，他将调查结果分为四类，A：很好；B：较好；C：一般；D：较差．并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题：

（1）李老师一共调查了多少名同学？
（2）C类女生有名，D类男生有名，将图1条形统计图补充完整；
（3）为了共同进步，李老师想从被调查的A类和D类学生中各随机选取一位同学进行“一帮一”互助学习，请用列表法或画树形图的方法求出所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率．

科目数学题型解答题难度中等

阅读下列"问题"与"提示"后，将解方程的过程补充完整，求出 $x$ 的值．

【问题】解方程： $x^{2} + 2 x + 4 \sqrt{x^{2} + 2 x} - 5 = 0$ ．

【提示】可以用"换元法"解方程．

解：设 $\sqrt{x^{2} + 2 x} = t (t ⩾ 0)$ ，则有 $x^{2} + 2 x = t^{2}$

原方程可化为： $t^{2} + 4 t - 5 = 0$

先化简，再求值： $(1 - \frac{1}{a}) \div \frac{a^{2} - 1}{a^{2} + 2 a + 1}$ ，其中 $a$ 是不等式组 $\{\begin{matrix} a - 2 ⩾ 2 - a① \\ 2 a - 1 < a + 3 ② \end{matrix}$ 的最小整数解．

如图，抛物线 $L : y = \frac{1}{2} x^{2} - \frac{5}{4} x - 3$ 与 $x$ 轴正半轴交于点 $A$ ，与 $y$ 轴交于点 $B$ ．

（1）求直线 $AB$ 的解析式及抛物线顶点坐标；

（2）如图1，点 $P$ 为第四象限且在对称轴右侧抛物线上一动点，过点 $P$ 作 $PC ⊥ x$ 轴，垂足为 $C$ ， $PC$ 交 $AB$ 于点 $D$ ，求 $PD + BD$ 的最大值，并求出此时点 $P$ 的坐标；

（3）如图2，将抛物线 $L : y = \frac{1}{2} x^{2} - \frac{5}{4} x - 3$ 向右平移得到抛物线 $L^{'}$ ，直线 $AB$ 与抛物线 $L^{'}$ 交于 $M$ ， $N$ 两点，若点 $A$ 是线段 $MN$ 的中点，求抛物线 $L^{'}$ 的解析式．

2020年是决战决胜扶贫攻坚和全面建成小康社会的收官之年，荆门市政府加大各部门和单位对口扶贫力度．某单位的帮扶对象种植的农产品在某月（按30天计）的第 $x$ 天 $(x$ 为正整数）的销售价格 $p$ （元 $/$ 千克）关于 $x$ 的函数关系式为 $p = \{\begin{matrix} \frac{2}{5} x + 4 (0 < x ⩽ 20) \\ - \frac{1}{5} x + 12 (20 < x ⩽ 30) \end{matrix}$ ，销售量 $y$ （千克）与 $x$ 之间的关系如图所示．

（1）求 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式，并写出 $x$ 的取值范围；

（2）当月第几天，该农产品的销售额最大，最大销售额是多少？（销售额 $=$ 销售量 $\times$ 销售价格）

如图， $AC$ 为 $⊙ O$ 的直径， $AP$ 为 $⊙ O$ 的切线， $M$ 是 $AP$ 上一点，过点 $M$ 的直线与 $⊙ O$ 交于点 $B$ ， $D$ 两点，与 $AC$ 交于点 $E$ ，连接 $AB$ ， $AD$ ， $AB = BE$ ．

（1）求证： $AB = BM$ ；

（2）若 $AB = 3$ ， $AD = \frac{24}{5}$ ，求 $⊙ O$ 的半径．

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