如图，方格纸中的每个小正方形边长都是1个长度单位，Rt△AB-优题课

如图，方格纸中的每个小正方形边长都是1个长度单位，Rt△ABC的顶点均在格点上，建立平面直角坐标系后，点A的坐标为（1，1），点B的坐标为（4，1）．

（1）先将Rt△ABC向左平移5个单位长度，再向下平移1个单位长度得到Rt△A₁B₁C₁，试在图中画出Rt△A₁B₁C₁，并写出点A₁的坐标；
（2）再将Rt△A₁B₁C₁绕点A₁顺时针旋转90°后得到Rt△A₂B₂C₂，试在图中画出Rt△A₂B₂C₂，并计算Rt△A₁B₁C₁在上述旋转过程中点C₁所经过的路径长．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：圆幂定理

如图，在等边 $ΔABC$ 中， $AB = 6 cm$ ，动点 $P$ 从点 $A$ 出发以 $1 cm / s$ 的速度沿 $AB$ 匀速运动．动点 $Q$ 同时从点 $C$ 出发以同样的速度沿 $BC$ 的延长线方向匀速运动，当点 $P$ 到达点 $B$ 时，点 $P$ 、 $Q$ 同时停止运动．设运动时间为 $t (s)$ ．过点 $P$ 作 $PE ⊥ AC$ 于 $E$ ，连接 $PQ$ 交 $AC$ 边于 $D$ ．以 $CQ$ 、 $CE$ 为边作平行四边形 $CQFE$ ．

（1）当 $t$ 为何值时， $ΔBPQ$ 为直角三角形；

（2）是否存在某一时刻 $t$ ，使点 $F$ 在 $∠ ABC$ 的平分线上？若存在，求出 $t$ 的值，若不存在，请说明理由；

（3）求 $DE$ 的长；

（4）取线段 $BC$ 的中点 $M$ ，连接 $PM$ ，将 $ΔBPM$ 沿直线 $PM$ 翻折，得△ $B' PM$ ，连接 $AB'$ ，当 $t$ 为何值时， $A B^{'}$ 的值最小？并求出最小值．

如图，二次函数 $y = x^{2} + bx + c$ 的图象与 $x$ 轴交于点 $A (- 1, 0)$ 和点 $B (3, 0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $N$ ，以 $AB$ 为边在 $x$ 轴上方作正方形 $ABCD$ ，点 $P$ 是 $x$ 轴上一动点，连接 $CP$ ，过点 $P$ 作 $CP$ 的垂线与 $y$ 轴交于点 $E$ ．

（1）求该抛物线的函数关系表达式；

（2）当点 $P$ 在线段 $OB$ （点 $P$ 不与 $O$ 、 $B$ 重合）上运动至何处时，线段 $OE$ 的长有最大值？并求出这个最大值；

（3）在第四象限的抛物线上任取一点 $M$ ，连接 $MN$ 、 $MB$ ．请问： $ΔMBN$ 的面积是否存在最大值？若存在，求出此时点 $M$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

某商店购进 $A$ 、 $B$ 两种商品，购买1个 $A$ 商品比购买1个 $B$ 商品多花10元，并且花费300元购买 $A$ 商品和花费100元购买 $B$ 商品的数量相等．

（1）求购买一个 $A$ 商品和一个 $B$ 商品各需要多少元；

（2）商店准备购买 $A$ 、 $B$ 两种商品共80个，若 $A$ 商品的数量不少于 $B$ 商品数量的4倍，并且购买 $A$ 、 $B$ 商品的总费用不低于1000元且不高于1050元，那么商店有哪几种购买方案？

如图，点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 在半径为8的 $⊙ O$ 上，过点 $B$ 作 $BD / / AC$ ，交 $OA$ 延长线于点 $D$ ．连接 $BC$ ，且 $∠ BCA = ∠ OAC = 30 °$ ．

（1）求证： $BD$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）求图中阴影部分的面积．

如图，在一次综合实践活动中，小亮要测量一楼房的高度，先在坡面 $D$ 处测得楼房顶部 $A$ 的仰角为 $30 °$ ，沿坡面向下走到坡脚 $C$ 处，然后向楼房方向继续行走10米到达 $E$ 处，测得楼房顶部 $A$ 的仰角为 $60 °$ ．已知坡面 $CD = 10$ 米，山坡的坡度 $i = 1 : \sqrt{3}$ （坡度 $i$ 是指坡面的铅直高度与水平宽度的比），求楼房 $AB$ 高度．（结果精确到0.1米）（参考数据： $\sqrt{3} \approx 1.73$ ， $\sqrt{2} \approx 1.41)$

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