我市某中学七、八年级各选派10名选手参加学校举办的爱我荆门知-优题课

我市某中学七、八年级各选派10名选手参加学校举办的“爱我荆门”知识竞赛，计分采用10分制，选手得分均为整数，成绩达到6分或6分以上为合格，达到9分或10分为优秀．这次竞赛后，七、八年级两支代表队选手成绩分布的条形统计图和成绩统计分析表如下，其中七年级代表队得6分、10分的选手人数分别为a，b．

队别	平均分	中位数	方差	合格率	优秀率
七年级	6.7	m	3.41	90%	n
八年级	7.1	7.5	1.69	80%	10%

（1）请依据图表中的数据，求a，b的值；
（2）直接写出表中的m，n的值；
（3）有人说七年级的合格率、优秀率均高于八年级，所以七年级队成绩比八年级队好，但也有人说八年级队成绩比七年级队好．请你给出两条支持八年级队成绩好的理由．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：统计量的选择

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = \frac{\sqrt{3}}{3} x^{2} - \frac{2 \sqrt{3}}{3} x - \sqrt{3}$ 与 $x$ 轴交于 $A$ 、 $B$ 两点（点 $A$ 在点 $B$ 的左侧），与 $y$ 轴交于点 $C$ ，对称轴与 $x$ 轴交于点 $D$ ，点 $E (4, n)$ 在抛物线上．

（1）求直线 $AE$ 的解析式；

（2）点 $P$ 为直线 $CE$ 下方抛物线上的一点，连接 $PC$ ， $PE$ ．当 $ΔPCE$ 的面积最大时，连接 $CD$ ， $CB$ ，点 $K$ 是线段 $CB$ 的中点，点 $M$ 是 $CP$ 上的一点，点 $N$ 是 $CD$ 上的一点，求 $KM + MN + NK$ 的最小值；

（3）点 $G$ 是线段 $CE$ 的中点，将抛物线 $y = \frac{\sqrt{3}}{3} x^{2} - \frac{2 \sqrt{3}}{3} x - \sqrt{3}$ 沿 $x$ 轴正方向平移得到新抛物线 $y'$ ， $y'$ 经过点 $D$ ， $y'$ 的顶点为点 $F$ ．在新抛物线 $y'$ 的对称轴上，是否存在点 $Q$ ，使得 $ΔFGQ$ 为等腰三角形？若存在，直接写出点 $Q$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

对任意一个三位数 $n$ ，如果 $n$ 满足各数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”．将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为 $F (n)$ ．例如 $n = 123$ ，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为 $213 + 321 + 132 = 666$ ， $666 \div 111 = 6$ ，所以 $F (123) = 6$ ．

（1）计算： $F (243)$ ， $F (617)$ ；

（2）若 $s$ ， $t$ 都是“相异数”，其中 $s = 100 x + 32$ ， $t = 150 + y (1 ⩽ x ⩽ 9$ ， $1 ⩽ y ⩽ 9$ ， $x$ ， $y$ 都是正整数），规定： $k = \frac{F (s)}{F (t)}$ ，当 $F (s) + F (t) = 18$ 时，求 $k$ 的最大值．

如图， $ΔABC$ 中， $∠ ACB = 90 °$ ， $AC = BC$ ，点 $E$ 是 $AC$ 上一点，连接 $BE$ ．

（1）如图1，若 $AB = 4 \sqrt{2}$ ， $BE = 5$ ，求 $AE$ 的长；

（2）如图2，点 $D$ 是线段 $BE$ 延长线上一点，过点 $A$ 作 $AF ⊥ BD$ 于点 $F$ ，连接 $CD$ 、 $CF$ ，当 $AF = DF$ 时，求证： $DC = BC$ ．

某地大力发展经济作物，其中果树种植已初具规模，今年受气候、雨水等因素的影响，樱桃较去年有小幅度的减产，而枇杷有所增产．

（1）该地某果农今年收获樱桃和枇杷共400千克，其中枇杷的产量不超过樱桃产量的7倍，求该果农今年收获樱桃至少多少千克？

（2）该果农把今年收获的樱桃、枇杷两种水果的一部分运往市场销售，该果农去年樱桃的市场销售量为100千克，销售均价为30元 $/$ 千克，今年樱桃的市场销售量比去年减少了 $m %$ ，销售均价与去年相同；该果农去年枇杷的市场销售量为200千克，销售均价为20元 $/$ 千克，今年枇杷的市场销售量比去年增加了 $2 m %$ ，但销售均价比去年减少了 $m %$ ，该果农今年运往市场销售的这部分樱桃和枇杷的销售总金额与他去年樱桃和枇杷的市场销售总金额相同，求 $m$ 的值．

如图，在平面直角坐标系中，一次函数 $y = ax + b (a \neq 0)$ 的图象与反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的图象交于 $A$ 、 $B$ 两点，与 $x$ 轴交于点 $C$ ，过点 $A$ 作 $AH ⊥ x$ 轴于点 $H$ ，点 $O$ 是线段 $CH$ 的中点， $AC = 4 \sqrt{5}$ ， $\cos ∠ ACH = \frac{\sqrt{5}}{5}$ ，点 $B$ 的坐标为 $(4, n)$ ．

（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；

（2）求 $ΔBCH$ 的面积．