定义一种新运算⊕：a⊕ba2b，比如：2⊕（3）22×（3）-优题课

如图， $⊙ O$ 的直径为 $AB$ ，点 $C$ 在 $⊙ O$ 上，点 $D$ ， $E$ 分别在 $AB$ ， $AC$ 的延长线上， $DE ⊥ AE$ ，垂足为 $E$ ， $∠ A = ∠ CDE$ ．

（1）求证： $CD$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）若 $AB = 4$ ， $BD = 3$ ，求 $CD$ 的长．

某冷饮店用200元购进 $A$ ， $B$ 两种水果共 $20 kg$ ，进价分别为7元 $/ kg$ 和12元 $/ kg$ ．

（1）这两种水果各购进多少千克？

（2）该冷饮店将所购进的水果全部混合制成50杯果汁，要使售完后所获利润不低于进货款的 $50 %$ ，则每杯果汁的售价至少为多少元？

甲、乙两城市某月1日 $~ 10$ 日中午12时的气温（单位： $^{°} C)$ 如下：

甲 22 20 25 22 18 23 13 27 27 22

乙 21 22 24 18 28 21 18 19 26 18

整理数据：这两组数据的频数分布表如表一．

分析数据：这两组数据的平均数、中位数、众数和方差如表二所示．

表一

表二

请填空：

（1）在上表中， $a =$ 　　， $b =$ 　　， $c =$ 　　， $d =$ 　　， $e =$ 　　；

（2）　　城的气温变化较小；

（3）　　城的气温较高，理由是　　．

如图，我军的一艘军舰在南海海域巡航，在 $A$ 处时，某岛上的灯塔 $P$ 位于 $A$ 的南偏西 $30 °$ 方向，距离为 $20 nmile$ ，军舰沿南偏东 $15 °$ 方向航行一段时间后到达 $B$ 处，此时，灯塔 $P$ 位于 $B$ 的西北方向上．

（1）分别求出 $∠ PAB$ 和 $∠ PBA$ 的大小；

（2）求 $B$ 到灯塔 $P$ 的距离．（结果保留1位小数，参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.414$ ， $\sqrt{3} \approx 1.732)$

如图，在 $ΔABC$ 中， $∠ ACB = 90 °$ ，

（1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）

①作 $AC$ 的垂直平分线，垂足为 $D$ ；

②以 $D$ 为圆心， $DA$ 长为半径作圆，交 $AB$ 于 $E (E$ 异于 $A)$ ，连接 $CE$ ；

（2）探究 $CE$ 与 $AB$ 的位置关系，并证明你的结论．