如图：已知BDCD，BF⊥AC，CE⊥AB，求证：点D在∠B-优题课

已知：在 $ΔABC$ 中， $∠ ACB = 90 °$ ，点 $D$ 是 $AC$ 边上一点，连接 $BD$ ，点 $E$ 是线段 $BD$ 延长线上一点，连接 $AE$ ， $CE$ ，使 $∠ CAE = ∠ CBE$ ，过点 $C$ 作 $CF ⊥ CE$ ，交 $BD$ 于点 $F$ ．

（1）①如图1，当 $∠ ABC = 45 °$ 时，线段 $AE$ 与 $BF$ 之间的数量关系是　．

②如图2，当 $∠ ABC = 60 °$ 时，线段 $AE$ 与 $BF$ 之间的数量关系是　　．

（2）如图3，当 $∠ ABC = 30 °$ 时，线段 $AE$ 与 $BF$ 之间具有怎样的数量关系？请说明理由．

（3）如图4，当 $∠ ABC = α (0 ° < α < 90 °)$ 时，直接写出线段 $AE$ 与 $BF$ 之间的数量关系．（用含 $α$ 的式子表示）

某商场销售 $A$ ， $B$ 两款书包，已知 $A$ ， $B$ 两款书包的进货价格分别为每个30元，50元，商场用3600元的资金购进 $A$ ， $B$ 两款书包共100个．

（1）求 $A$ ， $B$ 两款书包分别购进多少个．

（2）市场调查发现， $B$ 款书包每天的销售量 $y$ （个 $)$ 与销售单价 $x$ （元 $)$ 有如下关系： $y = - x + 90 (60 ⩽ x ⩽ 90)$ ．设 $B$ 款书包每天的销售利润为 $w$ 元，当 $B$ 款书包的销售单价为多少元时，商场每天 $B$ 款书包的销售利润最大？最大利润是多少元？

如图， $ΔABC$ 内接于 $⊙ O$ ， $AB$ 是 $⊙ O$ 的直径，弦 $CD$ 与 $AB$ 交于点 $E$ ，连接 $AD$ ，过点 $A$ 作直线 $MN$ ，使 $∠ MAC = ∠ ADC$ ．

（1）求证：直线 $MN$ 是 $⊙ O$ 的切线．

（2）若 $\sin ∠ ADC = \frac{1}{2}$ ， $AB = 8$ ， $AE = 3$ ，求 $DE$ 的长．

如图，建筑物 $AB$ 的高为52米，在其正前方广场上有人进行航模试飞．从建筑物顶端 $A$ 处测得航模 $C$ 的俯角 $α = 30 °$ ，同一时刻从建筑物的底端 $B$ 处测得航模 $C$ 的仰角 $β = 45 °$ ，求此时航模 $C$ 的飞行高度．（精确到1米）

（参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.41$ ， $\sqrt{3} \approx 1.73$ ， $\sqrt{6} \approx 2.45)$

为加强未成年人思想道德建设．某校在学生中开展了“日行一孝”活动．活动设置了四个爱心项目： $A$ 项 $-$ 我为父母过生日， $B$ 项 $-$ 我为父母洗洗脚， $C$ 项 $-$ 我当一天小管家， $D$ 项 $-$ 我与父母谈谈心，要求每个学生必须且只能选择一项参加．为了解全校参加各项目的学生人数，随机抽取了部分学生进行调查，根据调查结果，绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据所给信息，解答下列问题：

（1）这次抽样调查的样本容量是　　，补全图1中的条形统计图．

（2）在图2的扇形统计图中， $B$ 项所占的百分比为 $m %$ ，则 $m$ 的值为　　， $C$ 项所在扇形的圆心角 $α$ 的度数为　　度．

（3）该校参加活动的学生共1200人，请估计该校参加 $D$ 项的学生有多少人？