如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为（

如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为（－4，0），⊙P的半径为2，将⊙P沿x轴向右平移4个单位长度得⊙P₁．

（1）画出⊙P₁，并直接判断⊙P与⊙P₁的位置关系；
（2）设⊙P₁与x轴正半轴，y轴正半轴的交点分别为A，B，求劣弧AB与弦AB围成的图形的面积（结果保留π）．π）

科目数学题型解答题难度中等

知识点：对称式和轮换对称式

湖州素有鱼米之乡之称，某水产养殖大户为了更好地发挥技术优势，一次性收购了 $20000 kg$ 淡水鱼，计划养殖一段时间后再出售．已知每天放养的费用相同，放养10天的总成本为30.4万元；放养20天的总成本为30.8万元（总成本 $=$ 放养总费用 $+$ 收购成本）．

（1）设每天的放养费用是 $a$ 万元，收购成本为 $b$ 万元，求 $a$ 和 $b$ 的值；

（2）设这批淡水鱼放养 $t$ 天后的质量为 $m (kg)$ ，销售单价为 $y$ 元 $/ kg$ ．根据以往经验可知： $m$ 与 $t$ 的函数关系为 $m = \{\begin{matrix} 20000 (0 ⩽ t ⩽ 50) \\ 100 t + 15000 (50 < t ⩽ 100) \end{matrix}$ ； $y$ 与 $t$ 的函数关系如图所示．

①分别求出当 $0 ⩽ t ⩽ 50$ 和 $50 < t ⩽ 100$ 时， $y$ 与 $t$ 的函数关系式；

②设将这批淡水鱼放养 $t$ 天后一次性出售所得利润为 $W$ 元，求当 $t$ 为何值时， $W$ 最大？并求出最大值．（利润 $=$ 销售总额 $-$ 总成本）

已知正方形 $ABCD$ 的对角线 $AC$ ， $BD$ 相交于点 $O$ ．

（1）如图1， $E$ ， $G$ 分别是 $OB$ ， $OC$ 上的点， $CE$ 与 $DG$ 的延长线相交于点 $F$ ．若 $DF ⊥ CE$ ，求证： $OE = OG$ ；

（2）如图2， $H$ 是 $BC$ 上的点，过点 $H$ 作 $EH ⊥ BC$ ，交线段 $OB$ 于点 $E$ ，连接 $DH$ 交 $CE$ 于点 $F$ ，交 $OC$ 于点 $G$ ．若 $OE = OG$ ，

①求证： $∠ ODG = ∠ OCE$ ；

②当 $AB = 1$ 时，求 $HC$ 的长．

如图， $O$ 为 $Rt Δ ABC$ 的直角边 $AC$ 上一点，以 $OC$ 为半径的 $⊙ O$ 与斜边 $AB$ 相切于点 $D$ ，交 $OA$ 于点 $E$ ．已知 $BC = \sqrt{3}$ ， $AC = 3$ ．

（1）求 $AD$ 的长；

（2）求图中阴影部分的面积．

为积极创建全国文明城市，某市对某路口的行人交通违章情况进行了20天的调查，将所得数据绘制成如下统计图（图2不完整） $:$

请根据所给信息，解答下列问题：

（1）第7天，这一路口的行人交通违章次数是多少次？这20天中，行人交通违章6次的有多少天？

（2）请把图2中的频数直方图补充完整；（温馨提示：请画在答题卷相对应的图上）

（3）通过宣传教育后，行人的交通违章次数明显减少．经对这一路口的再次调查发现，平均每天的行人交通违章次数比第一次调查时减少了4次，求通过宣传教育后，这一路口平均每天还出现多少次行人的交通违章？

对于任意实数 $a$ ， $b$ ，定义关于“ $\otimes$ ”的一种运算如下： $a \otimes b = 2 a - b$ ．例如： $5 \otimes 2 = 2 \times 5 - 2 = 8$ ， $(- 3) \otimes 4 = 2 \times (- 3) - 4 = - 10$ ．

（1）若 $3 \otimes x = - 2011$ ，求 $x$ 的值；

（2）若 $x \otimes 3 < 5$ ，求 $x$ 的取值范围．