设函数，．（1）判断函数在上的单调性；（2）证明：对任意正数-优题课

题文

设函数，．
（1）判断函数在上的单调性；
（2）证明：对任意正数a，存在正数x，使不等式成立．

科目数学题型解答题难度较难

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如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 60 °$ ， $∠ B A C = 90 °$ ， $A D$ 是 $B C$ 上的高，沿 $A D$ 把 $△ A B D$ 折起，使 $∠ B D C = 90 °$ ．

（1）证明：平面 $A D B ⊥$ 平面 $B D C$ ；
（2）设 $E$ 为 $B C$ 的中点，求 $\overset{⇀}{A E}$ 与 $\overset{⇀}{D B}$ 夹角的余弦值．

已知函数() =，g ()=+。
（1）求函数h ()=()-g ()的零点个数，并说明理由；
（2）设数列满足，，证明：存在常数 $M$ ,使得对于任意的，都有≤.

如图，椭圆 $C_{1} : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ， $x$ 轴被曲线 $C_{2} : y = x^{2} - b$ 截得的线段长等于 $C_{1}$ 的长半轴长。

（1）求 $C_{1}$ ， $C_{2}$ 的方程；
（2）设 $C_{2}$ 与 $y$ 轴的交点为 $M$ ，过坐标原点 $O$ 的直线 $l$ 与 $C_{2}$ 相交于点 $A, B$ ,直线 $M A, M B$ 分别与 $C_{1}$ 相交与 $D, E$ .
①证明： $M D ⊥ M E$ ；
②记 $△ M A B, △ M D E$ 的面积分别是 $S_{1}, S_{2}$ .问：是否存在直线 $l$ ,使得 $\frac{S_{1}}{S_{2}} = \frac{17}{32}$ =?请说明理由。

如图，长方形物体E在雨中沿面 $P$ （面积为 $S$ ）的垂直方向作匀速移动，速度为 $v (v > 0)$ ，雨速沿E移动方向的分速度为 $c (c \in R)$ .E移动时单位时间内的淋雨量包括两部分：（1） $P$ 或 $P$ 的平行面（只有一个面淋雨）的淋雨量，假设其值与 $|v - c| \times S$ 成正比，比例系数为 $\frac{1}{10}$ ；（2）其它面的淋雨量之和，其值为 $\frac{1}{2}$ ，记 $y$ 为 $E$ 移动过程中的总淋雨量，当移动距离 $d = 100$ ，面积 $S = \frac{3}{2}$ 时.

（1）写出 $y$ 的表达式
（2）设 $0 < v \leq 10, 0 < c \leq 5$ ，试根据 $c$ 的不同取值范围，确定移动速度 $v$ ，使总淋雨量 $y$ 最少.

如图，在圆锥 $P O$ 中,已知 $P O = \sqrt{2}, ⊙ O$ 的直径 $A B = 2, C$ 是 $\overset{⏜}{A B}$ 的中点, $D$ 为 $A C$ 的中点.

（1）证明：平面 $P O D ⊥$ 平面 $P A C$

（2）求二面角 $B - P A - C$ 的余弦值．

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