如图，在直角坐标系xOy中，一次函数yk1xb的图象与反比例-优题课

（1）如图1，已知 $EK$ 垂直平分 $BC$ ，垂足为 $D$ ， $AB$ 与 $EK$ 相交于点 $F$ ，连接 $CF$ ．求证： $∠ AFE = ∠ CFD$ ．

（2）如图2，在 $Rt Δ GMN$ 中， $∠ M = 90 °$ ， $P$ 为 $MN$ 的中点．

①用直尺和圆规在 $GN$ 边上求作点 $Q$ ，使得 $∠ GQM = ∠ PQN$ （保留作图痕迹，不要求写作法）；

②在①的条件下，如果 $∠ G = 60 °$ ，那么 $Q$ 是 $GN$ 的中点吗？为什么？

阅读材料：各类方程的解法

求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为 $x = a$ 的形式．求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组．求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想 $- -$ 转化，把未知转化为已知．

用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程 $x^{3} + x^{2} - 2 x = 0$ ，可以通过因式分解把它转化为 $x (x^{2} + x - 2) = 0$ ，解方程 $x = 0$ 和 $x^{2} + x - 2 = 0$ ，可得方程 $x^{3} + x^{2} - 2 x = 0$ 的解．

（1）问题：方程 $x^{3} + x^{2} - 2 x = 0$ 的解是 $x_{1} = 0$ ， $x_{2} =$ 　　， $x_{3} =$ 　　；

（2）拓展：用“转化”思想求方程 $\sqrt{2 x + 3} = x$ 的解；

（3）应用：如图，已知矩形草坪 $ABCD$ 的长 $AD = 8 m$ ，宽 $AB = 3 m$ ，小华把一根长为 $10 m$ 的绳子的一端固定在点 $B$ ，沿草坪边沿 $BA$ ， $AD$ 走到点 $P$ 处，把长绳 $PB$ 段拉直并固定在点 $P$ ，然后沿草坪边沿 $PD$ 、 $DC$ 走到点 $C$ 处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点 $C$ ．求 $AP$ 的长．

京杭大运河是世界文化遗产．综合实践活动小组为了测出某段运河的河宽（岸沿是平行的），如图，在岸边分别选定了点 $A$ 、 $B$ 和点 $C$ 、 $D$ ，先用卷尺量得 $AB = 160 m$ ， $CD = 40 m$ ，再用测角仪测得 $∠ CAB = 30 °$ ， $∠ DBA = 60 °$ ，求该段运河的河宽（即 $CH$ 的长）．

如图，已知点 $A$ 在反比例函数 $y = \frac{4}{x} (x > 0)$ 的图象上，过点 $A$ 作 $AC ⊥ x$ 轴，垂足是 $C$ ， $AC = OC$ ．一次函数 $y = kx + b$ 的图象经过点 $A$ ，与 $y$ 轴的正半轴交于点 $B$ ．

（1）求点 $A$ 的坐标；

（2）若四边形 $ABOC$ 的面积是3，求一次函数 $y = kx + b$ 的表达式．

将图中的 $A$ 型、 $B$ 型、 $C$ 型矩形纸片分别放在3个盒子中，盒子的形状、大小、质地都相同，再将这3个盒子装入一只不透明的袋子中．

（1）搅匀后从中摸出1个盒子，求摸出的盒子中是 $A$ 型矩形纸片的概率；

（2）搅匀后先从中摸出1个盒子（不放回），再从余下的两个盒子中摸出一个盒子，求2次摸出的盒子的纸片能拼成一个新矩形的概率（不重叠无缝隙拼接）．