解不等式组：．-优题课

4月23日是世界读书日，习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”某校响应号召，鼓励师生利用课余时间广泛阅读．该校文学社为了解学生课外阅读情况，抽样调查了部分学生每周用于课外阅读的时间，过程如下：

数据收集：从全校随机抽取20名学生，进行了每周用于课外阅读时间的调查，数据如下（单位： $\min)$

30	60	81	50	40	110	130	146	90	100
60	81	120	140	70	81	10	20	100	81

整理数据：按如下分段整理样本数据并补全表格：

课外阅读时间 $x (\min)$	$0 ⩽ x < 40$	$40 ⩽ x < 80$	$80 ⩽ x < 120$	$120 ⩽ x < 160$
等级	$D$	$C$	$B$	$A$
人数	3		8

分析数据：补全下列表格中的统计量：

平均数	中位数	众数
80

得出结论：

（1）用样本中的统计量估计该校学生每周用于课外阅读时间的情况等级为　　；

（2）如果该校现有学生400人，估计等级为“ $B$ ”的学生有多少名？

（3）假设平均阅读一本课外书的时间为160分钟，请你选择样本中的一种统计量估计该校学生每人一年（按52周计算）平均阅读多少本课外书？

如图，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的图象与正比例函数 $y = 2 x$ 的图象相交于 $A (1, a)$ ， $B$ 两点，点 $C$ 在第四象限， $CA / / y$ 轴， $∠ ABC = 90 °$ ．

（1）求 $k$ 的值及点 $B$ 的坐标；

（2）求 $\tan C$ 的值．

今年某市为创评“全国文明城市”称号，周末团市委组织志愿者进行宣传活动．班主任梁老师决定从4名女班干部（小悦、小惠、小艳和小倩）中通过抽签方式确定2名女生去参加．抽签规则：将4名女班干部姓名分别写在4张完全相同的卡片正面，把四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，梁老师先从中随机抽取一张卡片，记下姓名，再从剩余的3张卡片中随机抽取第二张，记下姓名．

（1）该班男生“小刚被抽中”是　　事件，“小悦被抽中”是　　事件（填“不可能”或“必然”或“随机” $)$ ；第一次抽取卡片“小悦被抽中”的概率为　　；

（2）试用画树状图或列表的方法表示这次抽签所有可能的结果，并求出“小惠被抽中”的概率．

如图，在 $ΔABC$ 中， $AB = 8$ ， $BC = 4$ ， $CA = 6$ ， $CD / / AB$ ， $BD$ 是 $∠ ABC$ 的平分线， $BD$ 交 $AC$ 于点 $E$ ，求 $AE$ 的长．

如图，已知 $P$ 为锐角 $∠ MAN$ 内部一点，过点 $P$ 作 $PB ⊥ AM$ 于点 $B$ ， $PC ⊥ AN$ 于点 $C$ ，以 $PB$ 为直径作 $⊙ O$ ，交直线 $CP$ 于点 $D$ ，连接 $AP$ ， $BD$ ， $AP$ 交 $⊙ O$ 于点 $E$ ．

（1）求证： $∠ BPD = ∠ BAC$ ．

（2）连接 $EB$ ， $ED$ ，当 $\tan ∠ MAN = 2$ ， $AB = 2 \sqrt{5}$ 时，在点 $P$ 的整个运动过程中．

①若 $∠ BDE = 45 °$ ，求 $PD$ 的长．

②若 $ΔBED$ 为等腰三角形，求所有满足条件的 $BD$ 的长．

（3）连接 $OC$ ， $EC$ ， $OC$ 交 $AP$ 于点 $F$ ，当 $\tan ∠ MAN = 1$ ， $OC / / BE$ 时，记 $ΔOFP$ 的面积为 $S_{1}$ ， $ΔCFE$ 的面积为 $S_{2}$ ，请写出 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的值．