【提出问题】如图1，小东将一张AD为12，宽AB为4的长方形-优题课

【提出问题】如图1，小东将一张AD为12，宽AB为4的长方形纸片按如下方式进行折叠：在纸片的一边BC上分别取点P、Q，使得BP=CQ，连结AP、DQ，将△ABP、△DCQ分别沿AP、DQ折叠得△APM，△DQN，连结MN．小东发现线段MN的位置和长度随着点P、Q的位置发生改变．

【规律探索】
（1）请在图1中过点M，N分别画ME⊥BC于点E，NF⊥BC于点F．
求证：①ME=NF；②MN∥BC．
【解决问题】
（2）如图1，若BP=3，求线段MN的长；
（3）如图2，当点P与点Q重合时，求MN的长．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：圆内接四边形的性质相似多边形的性质

如图，点 $E$ 在 $▱ ABCD$ 内部， $AF / / BE$ ， $DF / / CE$ ．

（1）求证： $ΔBCE ≅ ΔADF$ ；

（2）设 $▱ ABCD$ 的面积为 $S$ ，四边形 $AEDF$ 的面积为 $T$ ，求 $\frac{S}{T}$ 的值．

筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图1，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理．如图2，筒车盛水桶的运行轨迹是以轴心 $O$ 为圆心的圆．已知圆心在水面上方，且圆被水面截得的弦 $AB$ 长为6米， $∠ OAB = 41.3 °$ ，若点 $C$ 为运行轨道的最高点 $(C$ ， $O$ 的连线垂直于 $AB)$ ，求点 $C$ 到弦 $AB$ 所在直线的距离．

（参考数据： $\sin 41.3 ° \approx 0.66$ ， $\cos 41.3 ° \approx 0.75$ ， $\tan 41.3 ° \approx 0.88)$

观察以下等式：

第1个等式： $\frac{2}{1} = \frac{1}{1} + \frac{1}{1}$ ，

第2个等式： $\frac{2}{3} = \frac{1}{2} + \frac{1}{6}$ ，

第3个等式： $\frac{2}{5} = \frac{1}{3} + \frac{1}{15}$ ，

第4个等式： $\frac{2}{7} = \frac{1}{4} + \frac{1}{28}$ ，

第5个等式： $\frac{2}{9} = \frac{1}{5} + \frac{1}{45}$ ，

$\dots \dots$

按照以上规律，解决下列问题：

（1）写出第6个等式：　　；

（2）写出你猜想的第 $n$ 个等式：　　（用含 $n$ 的等式表示），并证明．

为实施乡村振兴战略，解决某山区老百姓出行难的问题，当地政府决定修建一条高速公路．其中一段长为146米的山体隧道贯穿工程由甲乙两个工程队负责施工．甲工程队独立工作2天后，乙工程队加入，两工程队又联合工作了1天，这3天共掘进26米．已知甲工程队每天比乙工程队多掘进2米，按此速度完成这项隧道贯穿工程，甲乙两个工程队还需联合工作多少天？

如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的 $12 \times 12$ 的网格中，给出了以格点（网格线的交点）为端点的线段 $AB$ ．

（1）将线段 $AB$ 向右平移5个单位，再向上平移3个单位得到线段 $CD$ ，请画出线段 $CD$ ．

（2）以线段 $CD$ 为一边，作一个菱形 $CDEF$ ，且点 $E$ ， $F$ 也为格点．（作出一个菱形即可）

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