已知一次函数yaxb的图象上有两点A、B，它们的横坐标分别是-优题课

已知一次函数y=ax+b的图象上有两点A、B，它们的横坐标分别是3，－1，若二次函数y=x²的图象经过A、B两点．
（1）请求出一次函数的表达式；
（2）设二次函数的顶点为C，求△ABC的面积．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：二次函数在给定区间上的最值

已知二次函数： $y = a x^{2} + (2 a + 1) x + 2 (a < 0)$ ．

（1）求证：二次函数的图象与 $x$ 轴有两个交点；

（2）当二次函数的图象与 $x$ 轴的两个交点的横坐标均为整数，且 $a$ 为负整数时，求 $a$ 的值及二次函数的解析式并画出二次函数的图象（不用列表，只要求用其与 $x$ 轴的两个交点 $A$ ， $B (A$ 在 $B$ 的左侧），与 $y$ 轴的交点 $C$ 及其顶点 $D$ 这四点画出二次函数的大致图象，同时标出 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 的位置）；

（3）在（2）的条件下，二次函数的图象上是否存在一点 $P$ 使 $∠ PCA = 75 °$ ？如果存在，求出点 $P$ 的坐标；如果不存在，请说明理由．

如图，在正方形 $ABCD$ 中，分别过顶点 $B$ ， $D$ 作 $BE / / DF$ 交对角线 $AC$ 所在直线于 $E$ ， $F$ 点，并分别延长 $EB$ ， $FD$ 到点 $H$ ， $G$ ，使 $BH = DG$ ，连接 $EG$ ， $FH$ ．

（1）求证：四边形 $EHFG$ 是平行四边形；

（2）已知： $AB = 2 \sqrt{2}$ ， $EB = 4$ ， $\tan ∠ GEH = 2 \sqrt{3}$ ，求四边形 $EHFG$ 的周长．

某养殖场为了响应党中央的扶贫政策，今年起采用“场内 $+$ 农户”养殖模式，同时加强对蛋鸡的科学管理，蛋鸡的产蛋率不断提高，三月份和五月份的产蛋量分别是2.5万 $kg$ 与3.6万 $kg$ ，现假定该养殖场蛋鸡产蛋量的月增长率相同．

（1）求该养殖场蛋鸡产蛋量的月平均增长率；

（2）假定当月产的鸡蛋当月在各销售点全部销售出去，且每个销售点每月平均销售量最多为0.32万 $kg$ ．如果要完成六月份的鸡蛋销售任务，那么该养殖场在五月份已有的销售点的基础上至少再增加多少个销售点？

如图，在 $ΔABC$ 中， $AB = AC = 5$ ， $BC = 6$ ，以 $AB$ 为直径作 $⊙ O$ 分别交于 $AC$ ， $BC$ 于点 $D$ ， $E$ ，过点 $E$ 作 $⊙ O$ 的切线 $EF$ 交 $AC$ 于点 $F$ ，连接 $BD$ ．

（1）求证： $EF$ 是 $ΔCDB$ 的中位线；

（2）求 $EF$ 的长．

某校有20名同学参加市举办的“文明环保，从我做起”征文比赛，成绩分别记为60分、70分、80分、90分、100分，为方便奖励，现统计出80分、90分、100分的人数，制成如图不完整的扇形统计图，设70分所对扇形圆心角为 $α$ ．

（1）若从这20份征文中，随机抽取一份，则抽到试卷的分数为低于80分的概率是　　；

（2）当 $α = 108 °$ 时，求成绩是60分的人数；

（3）设80分为唯一众数，求这20名同学的平均成绩的最大值．

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