如图，矩形ABCD中，点P是线段AD上一动点，O为BD的中点，PO的延长线交BC于Q。
（1）求证：OP=OQ；
（2）若AD=8厘米，AB=6厘米，P从点A出发，以1厘米/秒的速度向D运动（不与D重合）。设点P运动时间为t秒，请用t表示PD的长；并求t为何值时，四边形PBQD是菱形。
问题情境：用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放，则第2012个图共有多少枚棋子？
建立模型：有些规律问题可以借助函数思想来探讨，具体步骤：第一步，确定变量；第二步，在直角坐标系中画出函数图象；第三步，根据函数图象猜想并求出函数关系式；第四步，把另外的某一点代入验证，若成立，则用这个关系式去求解．
解决问题：根据以上步骤，请你解答“问题情境”．
“五一”期间，申老师一家自驾游去了离家170千米的某地，图是他们离家的距离y（千米）与汽车行驶时间x（时）之间的函数图象．
（1）他们出发半小时时，离家多少千米？
（2）求出AB段图象的函数表达式．
（3）他们出发2小时时，离目的地还有多少千米？
某商场计划购进A，B两种新型节能台灯共100盏，这两种台灯的进价、售价如表所示：
 |
进价（元／盏） |
售价（元／盏） |
| A型 |
30 |
45 |
| B型 |
50 |
70 |
（1）若商场预计进货款为3500元，则这两种台灯各购进多少盏？
（2）若商场规定B型台灯的进货数量不超过A型台灯数量的3倍，应怎样进货才能使商场在销售完这批台灯时获利最多？此时利润为多少元？
如图，正比例函数y＝kx的图象经过点A（2，4），AB⊥x轴于点B．
（1）求该正比例函数的解析式．
（2）将△ABO绕点A逆时针旋转90°得到△ADC，写出点C的坐标，试判断点C是否在直线
上，并说明理由．
某工厂投入生产一种机器的总成本为2000万元．当该机器生产数量至少为10台，但不超过70台时，每台成本y与生产数量x之间是一次函数关系，函数y与自变量x的部分对应值如下表：
| x/台 |
10 |
20 |
30 |
| y/（万元·台－1） |
60 |
55 |
50 |
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）求该机器的生产数量；
（3）市场调查发现，这种机器每月销售量z（台）与售价a（万元／台）之间满足如图所示的函数关系，该厂生产这种机器后第一个月按同一售价共卖出这种机器25台，请你求出该厂第一个月销售这种机器的利润．（注：利润＝售价－成本）