已知，且,则的最小值为．-优题课

当 $x \in R, |x| < 1$ 时，有如下表达式： $1 + x + x^{2} + \dots + x^{n} + \dots = \frac{1}{1 - x}$ 两边同时积分得： $\int_{0}^{\frac{1}{2}} 1 d x + \int_{0}^{\frac{1}{2}} x d x + \int_{0}^{\frac{1}{2}} x^{2} d x + \dots + \int_{0}^{\frac{1}{2}} x^{n} d x + \dots = \int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{1 - x} d x$ .从而得到如下等式：
$1 \times \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \times {(\frac{1}{2})}^{2} + \frac{1}{3} \times {(\frac{1}{2})}^{3} + \dots + \frac{1}{n + 1} \times {(\frac{1}{2})}^{n + 1} + \dots = \ln 2$ .请根据以上材料所蕴含的数学思想方法，计算：
$C_{n}^{0} \times \frac{1}{2} + \frac{1}{2} C_{n}^{1} \times {(\frac{1}{2})}^{2} + \frac{1}{3} C_{n}^{2} \times {(\frac{1}{2})}^{3} + \dots + \frac{1}{n + 1} C_{n}^{n} \times {(\frac{1}{2})}^{n + 1} =$ .

椭圆 $Γ : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ,焦距为 $2 c$ ，若直线 $y = \sqrt{3} (x + c)$ 与椭圆的一个交点满足 $∠ M F_{1} F_{2} = 2 ∠ M F_{2} F_{1}$ ,则该椭圆的离心率等于.

如图，在 $∆ A B C$ 中，已知点 $D$ 在 $B C$ 边上， $A D ⊥ A C, \sin ∠ B A C = \frac{2 \sqrt{2}}{3}, A B = 3 \sqrt{2}, A D = 3$ ,则 $B D$ 的长为.

已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体，如果该组合体的正视图、俯视图、均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是

利用计算机产生0～1之间的均匀随机数 $a$ ，则事件 $` 3 a - 1 < 0 `$ 的概率为.