(本小题满分12分)给定正实数，对任意的正整数，，其中表示不-优题课

(本小题满分12分)
给定正实数，对任意的正整数，，其中表示不超过实数的最大整数．
（Ⅰ）若，求的取值范围；
（Ⅱ）求证：（i）；
（ii）．

科目数学题型解答题难度中等

甲 $、$ 乙两支排球队进行比赛,约定先胜3局者获得比赛的胜利,比赛随即结束.除第五局甲队获胜的概率是 $\frac{1}{2}$ 外,其余每局比赛甲队获胜的概率都是 $\frac{2}{3}$ .假设各局比赛结果相互独立.
（Ⅰ）分别求甲队以 $3 : 0, 3 : 1, 3 : 2$ 胜利的概率；
（Ⅱ）若比赛结果为求 $3 : 0$ 或 $3 : 1$ ,则胜利方得3分,对方得0分;若比赛结果为3:2,则胜利方得2分 $、$ 对方得1分.求乙队得分 $X$ 的分布列及数学期望.

如图所示，在三棱锥 $∆ P A Q$ 中， $P B ⊥$ 平面 $A B Q$ ， $B A = B Q = B P, D, C, E, F$ 分别是 $A Q, B Q, A P, B P$ 的中点， $A Q = 2 B D, P D$ 与 $E Q$ 交于 $G, P C$ 与 $F Q$ 交于点 $H$ ，连接 $G H$ .

（Ⅰ）求证： $A B ▱ G H$ ；
（Ⅱ）求二面角 $D - G H - E$ 的余弦值.

设 $∆ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ,且 $a + c = 6, b = 2, \cos B = \frac{7}{9}$ .

（Ⅰ）求 $a, c$ 的值；
（Ⅱ）求 $\sin (A - B)$ 的值.

设 $a, b, c$ 均为正数，且 $a + b + c = 1$ ，证明：
（Ⅰ） $a b + b c + a c \leq \frac{1}{3}$ ；
（Ⅱ） $\frac{a^{2}}{b} + \frac{b^{2}}{c} + \frac{c^{2}}{a} \geq 1$

已知动点 $P$ ， $Q$ 都在曲线C： $\{\begin{cases} x = 2 \cos t \\ y = 2 \sin t \end{cases}$ （ $t$ 为参数）上，对应参数分别为 $t = a$ 与 $t = 2 a$ （ $0 < a < 2 π$ ）， $M$ 为 $P Q$ 的中点。

（Ⅰ）求 $M$ 的轨迹的参数方程
（Ⅱ）将 $M$ 到坐标原点的距离 $d$ 表示为 $a$ 的函数，并判断 $M$ 的轨迹是否过坐标原点。

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