(本小题满分12分)给定正实数，对任意的正整数，，其中表示不-优题课

(本小题满分12分)
给定正实数，对任意的正整数，，其中表示不超过实数的最大整数．
（Ⅰ）若，求的取值范围；
（Ⅱ）求证：（i）；
（ii）．

科目数学题型解答题难度中等

如图， $M (- 2, 0)$ 和 $N (2, 0)$ 是平面上的两点，动点 $p$ 满足： $||PM| - |PN|| = 2 .$

（Ⅰ）求点 $p$ 的轨迹方程;

（Ⅱ）设 $d$ 为点 $p$ 到直线 $l$ ： $x = \frac{1}{2}$ 的距离，若 $|PM| = 2 {|PN|}^{2}$ ,求 $\frac{|PM|}{d}$ 的值.

如图，为平面， $α \cap β = l, A \in α, B \in β,$ $A B = 5$ , $A$ , $B$ 在棱 $l$ 上的射影分别为 $A^{`}$ ， $B^{`}$ ， $A A^{`} = 3$ ， $B B^{`} = 2$ .若二面角 $α - l - β$ 的大小为 $\frac{2 π}{3}$ ，求：

（Ⅰ）点 $B$ 到平面 $α$ 的距离;

（Ⅱ）异面直线 $l$ 与 $A B$ 所成的角（用反三角函数表示）.

设函数 $f (x) = x^{3} + a x^{2} - 9 x - 1 (a < 0) .$ 若曲线 $y = f (x)$ 的斜率最小的切线与直线 $12 x + y = 6$ 平行，求：

（Ⅰ） $a$ 的值;

（Ⅱ）函数 $f (x)$ 的单调区间.

在每道单项选择题给出的4个备选答案中，只有一个是正确的.若对4道选择题中的每一道都任意选定一个答案，求这4道题中：

（Ⅰ）恰有两道题答对的概率;

（Ⅱ）至少答对一道题的概率.

设 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ , $b$ , $c$ .已知 $b^{2} + c^{2} = a^{2} + \sqrt{3} bc$ ，求：

（Ⅰ） $A$ 的大小;

（Ⅱ） $2 \sin B \cos C - \sin (B - C)$ 的值.

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