（本题8分）已知已知，，且，求的值．-优题课

如图，已知直线 $l_{1} / / l_{2}$ ，直线 $l_{3}$ 分别与 $l_{1}$ 、 $l_{2}$ 交于点 $A$ 、 $B$ ．请用尺规作图法，在线段 $AB$ 上求作一点 $P$ ，使点 $P$ 到 $l_{1}$ 、 $l_{2}$ 的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法）

解方程： $\frac{x - 1}{x + 1} - \frac{3}{x^{2} - 1} = 1$ ．

解不等式组： $\{\begin{matrix} x + 5 < 4 \\ \frac{3 x + 1}{2} ⩾ 2 x - 1 \end{matrix}$ ．

计算： ${(- \frac{1}{2})}^{0} + | 1 - \sqrt{2} | - \sqrt{8}$ ．

综合与探究

如图，抛物线 $y = \frac{1}{2} x^{2} + 2 x - 6$ 与 $x$ 轴交于 $A$ ， $B$ 两点（点 $A$ 在点 $B$ 的左侧），与 $y$ 轴交于点 $C$ ，连接 $AC$ ， $BC$ ．

（1）求 $A$ 、 $B$ ， $C$ 三点的坐标并直接写出直线 $AC$ ， $BC$ 的函数表达式．

（2）点 $P$ 是直线 $AC$ 下方抛物线上的一个动点，过点 $P$ 作 $BC$ 的平行线 $l$ ，交线段 $AC$ 于点 $D$ ．

①试探究：在直线 $l$ 上是否存在点 $E$ ，使得以点 $D$ ， $C$ ， $B$ ， $E$ 为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点 $E$ 的坐标，若不存在，请说明理由；

②设抛物线的对称轴与直线 $l$ 交于点 $M$ ，与直线 $AC$ 交于点 $N$ ．当 $S_{ΔDMN} = S_{ΔAOC}$ 时，请直接写出 $DM$ 的长．