已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，k为正整数．（-优题课

已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，k为正整数．
（1）求k的值；
（2）当次方程有一根为零时，直线与关于x的二次函数的图象交于A、B两点，若M是线段AB上的一个动点，过点M作MN⊥x轴，交二次函数的图象于点N，求线段MN的最大值及此时点M的坐标；
（3）将（2）中的二次函数图象x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分保持不变，翻折后的图象与原图象x轴上方的部分组成一个“W”形状的新图象，若直线与该新图象恰好有三个公共点，求b的值．

科目数学题型解答题难度中等

如图，四边形 $ABCD$ 的四个顶点分别在反比例函数 $y = \frac{m}{x}$ 与 $y = \frac{n}{x} (x > 0, 0 < m < n)$ 的图象上，对角线 $BD / / y$ 轴，且 $BD ⊥ AC$ 于点 $P$ ．已知点 $B$ 的横坐标为4．

（1）当 $m = 4$ ， $n = 20$ 时．

①若点 $P$ 的纵坐标为2，求直线 $AB$ 的函数表达式．

②若点 $P$ 是 $BD$ 的中点，试判断四边形 $ABCD$ 的形状，并说明理由．

（2）四边形 $ABCD$ 能否成为正方形？若能，求此时 $m$ ， $n$ 之间的数量关系；若不能，试说明理由．

如图，抛物线 $y = a x^{2} + bx (a < 0)$ 过点 $E (10, 0)$ ，矩形 $ABCD$ 的边 $AB$ 在线段 $OE$ 上（点 $A$ 在点 $B$ 的左边），点 $C$ ， $D$ 在抛物线上．设 $A (t, 0)$ ，当 $t = 2$ 时， $AD = 4$ ．

（1）求抛物线的函数表达式．

（2）当 $t$ 为何值时，矩形 $ABCD$ 的周长有最大值？最大值是多少？

（3）保持 $t = 2$ 时的矩形 $ABCD$ 不动，向右平移抛物线．当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点 $G$ ， $H$ ，且直线 $GH$ 平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离．

如图，在 $Rt Δ ABC$ 中，点 $O$ 在斜边 $AB$ 上，以 $O$ 为圆心， $OB$ 为半径作圆，分别与 $BC$ ， $AB$ 相交于点 $D$ ， $E$ ，连接 $AD$ ．已知 $∠ CAD = ∠ B$ ．

（1）求证： $AD$ 是 $⊙ O$ 的切线．

（2）若 $BC = 8$ ， $\tan B = \frac{1}{2}$ ，求 $⊙ O$ 的半径．

为了解朝阳社区 $20 ~ 60$ 岁居民最喜欢的支付方式，某兴趣小组对社区内该年龄段的部分居民展开了随机问卷调查（每人只能选择其中一项），并将调查数据整理后绘成如下两幅不完整的统计图．请根据图中信息解答下列问题：

（1）求参与问卷调查的总人数．

（2）补全条形统计图．

（3）该社区中 $20 ~ 60$ 岁的居民约8000人，估算这些人中最喜欢微信支付方式的人数．

已知， $ΔABC$ 中， $∠ B = ∠ C$ ， $P$ 是 $BC$ 边上一点，作 $∠ CPE = ∠ BPF$ ，分别交边 $AC$ ， $AB$ 于点 $E$ ， $F$ ．

（1）若 $∠ CPE = ∠ C$ （如图 $1)$ ，求证： $PE + PF = AB$ ．

（2）若 $∠ CPE \neq ∠ C$ ，过点 $B$ 作 $∠ CBD = ∠ CPE$ ，交 $CA$ （或 $CA$ 的延长线）于点 $D$ ．试猜想：线段 $PE$ ， $PF$ 和 $BD$ 之间的数量关系，并就 $∠ CPE > ∠ C$ 情形（如图 $2)$ 说明理由．

（3）若点 $F$ 与 $A$ 重合（如图 $3)$ ， $∠ C = 27 °$ ，且 $PA = AE$ ．

①求 $∠ CPE$ 的度数；

②设 $PB = a$ ， $PA = b$ ， $AB = c$ ，试证明： $b = \frac{a^{2} - c^{2}}{c}$ ．