如图，在△ABC中，ABAC，∠DAC是△ABC的一个外角．-优题课

数学兴趣小组到黄河风景名胜区测量炎帝塑像（塑像中高者）的高度．如图所示，炎帝塑像 $DE$ 在高 $55 m$ 的小山 $EC$ 上，在 $A$ 处测得塑像底部 $E$ 的仰角为 $34 °$ ，再沿 $AC$ 方向前进 $21 m$ 到达 $B$ 处，测得塑像顶部 $D$ 的仰角为 $60 °$ ，求炎帝塑像 $DE$ 的高度．

（精确到 $1 m$ ．参考数据： $\sin 34 ° \approx 0.56$ ， $\cos 34 ° \approx 0.83$ ， $\tan 34 ° \approx 0.67$ ， $\sqrt{3} \approx 1.73)$

某校为了解七、八年级学生对“防溺水”安全知识的掌握情况，从七、八年级各随机抽取50名学生进行测试，并对成绩（百分制）进行整理、描述和分析．部分信息如下：

$a$ ．七年级成绩频数分布直方图：

$b$ ．七年级成绩在 $70 ⩽ x < 80$ 这一组的是：

70 72 74 75 76 76 77 77 77 78 79

$c$ ．七、八年级成绩的平均数、中位数如下：

年级	平均数	中位数
七	76.9	$m$
八	79.2	79.5

根据以上信息，回答下列问题：

（1）在这次测试中，七年级在80分以上（含80分）的有　　人；

（2）表中 $m$ 的值为　　；

（3）在这次测试中，七年级学生甲与八年级学生乙的成绩都是78分，请判断两位学生在各自年级的排名谁更靠前，并说明理由；

（4）该校七年级学生有400人，假设全部参加此次测试，请估计七年级成绩超过平均数76.9分的人数．

如图，在 $ΔABC$ 中， $BA = BC$ ， $∠ ABC = 90 °$ ，以 $AB$ 为直径的半圆 $O$ 交 $AC$ 于点 $D$ ，点 $E$ 是 $\hat{BD}$ 上不与点 $B$ ， $D$ 重合的任意一点，连接 $AE$ 交 $BD$ 于点 $F$ ，连接 $BE$ 并延长交 $AC$ 于点 $G$ ．

（1）求证： $ΔADF ≅ ΔBDG$ ；

（2）填空：

①若 $AB = 4$ ，且点 $E$ 是 $\hat{BD}$ 的中点，则 $DF$ 的长为　　；

②取 $\hat{AE}$ 的中点 $H$ ，当 $∠ EAB$ 的度数为　　时，四边形 $OBEH$ 为菱形．

如图，抛物线 $y = a x^{2} + 6 x + c$ 交 $x$ 轴于 $A$ ， $B$ 两点，交 $y$ 轴于点 $C$ ．直线 $y = x - 5$ 经过点 $B$ ， $C$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）过点 $A$ 的直线交直线 $BC$ 于点 $M$ ．

①当 $AM ⊥ BC$ 时，过抛物线上一动点 $P$ （不与点 $B$ ， $C$ 重合），作直线 $AM$ 的平行线交直线 $BC$ 于点 $Q$ ，若以点 $A$ ， $M$ ， $P$ ， $Q$ 为顶点的四边形是平行四边形，求点 $P$ 的横坐标；

②连接 $AC$ ，当直线 $AM$ 与直线 $BC$ 的夹角等于 $∠ ACB$ 的2倍时，请直接写出点 $M$ 的坐标．

（1）问题发现

如图1，在 $ΔOAB$ 和 $ΔOCD$ 中， $OA = OB$ ， $OC = OD$ ， $∠ AOB = ∠ COD = 40 °$ ，连接 $AC$ ， $BD$ 交于点 $M$ ．填空：

① $\frac{AC}{BD}$ 的值为　　；

② $∠ AMB$ 的度数为　　．

（2）类比探究

如图2，在 $ΔOAB$ 和 $ΔOCD$ 中， $∠ AOB = ∠ COD = 90 °$ ， $∠ OAB = ∠ OCD = 30 °$ ，连接 $AC$ 交 $BD$ 的延长线于点 $M$ ．请判断 $\frac{AC}{BD}$ 的值及 $∠ AMB$ 的度数，并说明理由；

（3）拓展延伸

在（2）的条件下，将 $ΔOCD$ 绕点 $O$ 在平面内旋转， $AC$ ， $BD$ 所在直线交于点 $M$ ，若 $OD = 1$ ， $OB = \sqrt{7}$ ，请直接写出当点 $C$ 与点 $M$ 重合时 $AC$ 的长．