（·湖北鄂州，21题，9分）如图，某数学兴趣小组在活动课上测-优题课

（·湖北鄂州，21题，9分）如图，某数学兴趣小组在活动课上测量学校旗杆的高度．已知小亮站着测量，眼睛与地面的距离（AB）是1．7米，看旗杆顶部E的仰角为30°；小敏蹲着测量，眼睛与地面的距离（CD）是0．7米，看旗杆顶部E的仰角为45°．两人相距5米且位于旗杆同侧（点B、D、F在同一直线上）．

（1）求小敏到旗杆的距离DF．（结果保留根号）
（2）求旗杆EF的高度．（结果保留整数．参考数据：，）

科目数学题型解答题难度中等

如图：在平面直角坐标系中，直线 $l : y = \frac{1}{3} x - \frac{4}{3}$ 与 $x$ 轴交于点 $A$ ，经过点 $A$ 的抛物线 $y = a x^{2} - 3 x + c$ 的对称轴是 $x = \frac{3}{2}$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）平移直线 $l$ 经过原点 $O$ ，得到直线 $m$ ，点 $P$ 是直线 $m$ 上任意一点， $PB ⊥ x$ 轴于点 $B$ ， $PC ⊥ y$ 轴于点 $C$ ，若点 $E$ 在线段 $OB$ 上，点 $F$ 在线段 $OC$ 的延长线上，连接 $PE$ ， $PF$ ，且 $PF = 3 PE$ ．求证： $PE ⊥ PF$ ；

（3）若（2）中的点 $P$ 坐标为 $(6, 2)$ ，点 $E$ 是 $x$ 轴上的点，点 $F$ 是 $y$ 轴上的点，当 $PE ⊥ PF$ 时，抛物线上是否存在点 $Q$ ，使四边形 $PEQF$ 是矩形？如果存在，请求出点 $Q$ 的坐标，如果不存在，请说明理由．

如图， $AB$ 为 $⊙ O$ 的直径，点 $C$ 为 $⊙ O$ 上一点，将弧 $BC$ 沿直线 $BC$ 翻折，使弧 $BC$ 的中点 $D$ 恰好与圆心 $O$ 重合，连接 $OC$ ， $CD$ ， $BD$ ，过点 $C$ 的切线与线段 $BA$ 的延长线交于点 $P$ ，连接 $AD$ ，在 $PB$ 的另一侧作 $∠ MPB = ∠ ADC$ ．

（1）判断 $PM$ 与 $⊙ O$ 的位置关系，并说明理由；

（2）若 $PC = \sqrt{3}$ ，求四边形 $OCDB$ 的面积．

数学课上，李老师准备了四张背面看上去无差别的卡片 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ ，每张卡片的正面标有字母 $a$ ， $b$ ， $c$ 表示三条线段（如图），把四张卡片背面朝上放在桌面上，李老师从这四张卡片中随机抽取一张卡片后不放回，再随机抽取一张．

（1）用树状图或者列表表示所有可能出现的结果；

（2）求抽取的两张卡片中每张卡片上的三条线段都能组成三角形的概率．

某公司计划购买 $A$ ， $B$ 两种型号的电脑，已知购买一台 $A$ 型电脑需0.6万元，购买一台 $B$ 型电脑需0.4万元，该公司准备投入资金 $y$ 万元，全部用于购进35台这两种型号的电脑，设购进 $A$ 型电脑 $x$ 台．

（1）求 $y$ 关于 $x$ 的函数解析式；

（2）若购进 $B$ 型电脑的数量不超过 $A$ 型电脑数量的2倍，则该公司至少需要投入资金多少万元？

某初级中学数学兴趣小组为了了解本校学生的年龄情况，随机调查了该校部分学生的年龄，整理数据并绘制如下不完整的统计图．

依据以上信息解答以下问题：

（1）求样本容量；

（2）直接写出样本的平均数，众数和中位数；

（3）若该校一共有1800名学生，估计该校年龄在15岁及以上的学生人数．