如图：在平面直角坐标系中，直线$l:y=\frac{1}{3}x-\frac{4}{3}$与$x$轴交于点$A$，经过点$A$的抛物线$y=a{x}^2-3x+c$的对称轴是$x=\frac{3}{2}$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）平移直线$l$经过原点$O$，得到直线$m$，点$P$是直线$m$上任意一点，$\mathit{PB}\perp x$轴于点$B$，$\mathit{PC}\perp y$轴于点$C$，若点$E$在线段$\mathit{OB}$上，点$F$在线段$\mathit{OC}$的延长线上，连接$\mathit{PE}$，$\mathit{PF}$，且$\mathit{PF}=3\mathit{PE}$．求证：$\mathit{PE}\perp \mathit{PF}$；

（3）若（2）中的点$P$坐标为$(6,2)$，点$E$是$x$轴上的点，点$F$是$y$轴上的点，当$\mathit{PE}\perp \mathit{PF}$时，抛物线上是否存在点$Q$，使四边形$\mathit{PEQF}$是矩形？如果存在，请求出点$Q$的坐标，如果不存在，请说明理由．

科目 数学   题型 解答题   难度 较难

知识点： 二次函数图象与几何变换 待定系数法求二次函数解析式 矩形的性质 二次函数综合题