（贺州）解分式方程：．-优题课

在四边形 $ABCD$ 中， $∠ B + ∠ D = 180 °$ ，对角线 $AC$ 平分 $∠ BAD$ ．

（1）如图1，若 $∠ DAB = 120 °$ ，且 $∠ B = 90 °$ ，试探究边 $AD$ 、 $AB$ 与对角线 $AC$ 的数量关系并说明理由．

（2）如图2，若将（1）中的条件“ $∠ B = 90 °$ ”去掉，（1）中的结论是否成立？请说明理由．

（3）如图3，若 $∠ DAB = 90 °$ ，探究边 $AD$ 、 $AB$ 与对角线 $AC$ 的数量关系并说明理由．

如图，以 $AB$ 边为直径的 $⊙ O$ 经过点 $P$ ， $C$ 是 $⊙ O$ 上一点，连接 $PC$ 交 $AB$ 于点 $E$ ，且 $∠ ACP = 60 °$ ， $PA = PD$ ．

（1）试判断 $PD$ 与 $⊙ O$ 的位置关系，并说明理由；

（2）若点 $C$ 是弧 $AB$ 的中点，已知 $AB = 4$ ，求 $CE \cdot CP$ 的值．

某公司从2013年开始投入技术改进资金，经技术改进后，其产品的成本不断降低，具体数据如下表：

年度	2013	2014	2015	2016
投入技改资金 $x$ （万元）	2.5	3	4	4.5
产品成本 $y$ （万元 $/$ 件）	7.2	6	4.5	4

（1）请你认真分析表中数据，从一次函数和反比例函数中确定哪一个函数能表示其变化规律，给出理由，并求出其解析式；

（2）按照这种变化规律，若2017年已投入资金5万元．

①预计生产成本每件比2016年降低多少万元？

②若打算在2017年把每件产品成本降低到3.2万元，则还需要投入技改资金多少万元？（结果精确到0.01万元）．

如图，在水平地面上有一幢房屋 $BC$ 与一棵树 $DE$ ，在地面观测点 $A$ 处测得屋顶 $C$ 与树梢 $D$ 的仰角分别是 $45 °$ 与 $60 °$ ， $∠ CAD = 60 °$ ，在屋顶 $C$ 处测得 $∠ DCA = 90 °$ ．若房屋的高 $BC = 6$ 米，求树高 $DE$ 的长度．

为了了解我市中学生参加“科普知识”竞赛成绩的情况，随机抽查了部分参赛学生的成绩，整理并制作出如下的统计表和统计图，如图所示．请根据图表信息解答下列问题：

组别	分数段（分 $)$	频数	频率
$A$ 组	$60 ⩽ x < 70$	30	0.1
$B$ 组	$70 ⩽ x < 80$	90	$n$
$C$ 组	$80 ⩽ x < 90$	$m$	0.4
$D$ 组	$90 ⩽ x < 100$	60	0.2

（1）在表中： $m =$ 　　， $n =$ 　　；

（2）补全频数分布直方图；

（3）小明的成绩是所有被抽查学生成绩的中位数，据此推断他的成绩在　　组；

（4）4个小组每组推荐1人，然后从4人中随机抽取2人参加颁奖典礼，恰好抽中 $A$ 、 $C$ 两组学生的概率是多少？并列表或画树状图说明．