（年云南省曲靖市）某中学需在短跑、跳远、乒乓球、跳高四类体育-优题课

2021年是中国共产党成立100周年．为普及党史知识，培养爱国主义精神，今年五月份，某市党校举行党史知识竞赛，每个班级各选派15名学员参加了网上测试，现对甲、乙两班学员的分数进行整理分析如下：

甲班15名学员测试成绩（满分100分）统计如下：

87，84，88，76，93，87，73，98，86，87，79，85，84，85，98．

乙班15名学员测试成绩（满分100分）统计如下：

77，88，92，85，76，90，76，91，88，81，85，88，98，86，89

（1）按如表分数段整理两班测试成绩

班级	$70.5 ~ 75.5$	$75.5 ~ 80.5$	$80.5 ~ 85.5$	$85.5 ~ 90.5$	$90.5 ~ 95.5$	$95.5 ~ 100.5$
甲	1	2	$a$	5	1	2
乙	0	3	3	6	2	1

表中 $a =$ 　　；

（2）补全甲班15名学员测试成绩的频数分布直方图；

（3）两班测试成绩的平均数、众数、中位数、方差如表所示：

班级	平均数	众数	中位数	方差
甲	86	$x$	86	44.8
乙	86	88	$y$	36.7

表中 $x =$ 　　， $y =$ 　　．

（4）以上两个班级学员掌握党史相关知识的整体水平较好的是　　班；

（5）本次测试两班的最高分都是98分，其中甲班2人，乙班1人．现从以上三人中随机抽取两人代表党校参加全市党史知识竞赛，根据树状图或表格求出恰好抽取甲、乙两班各一人参加全市党史知识竞赛的概率．

先化简，再求值： $(\frac{2 x + 5}{x^{2} - 1} - \frac{3}{x - 1}) \div \frac{2 - x}{x^{2} - 2 x + 1}$ ，从 $- 2 < x ⩽ 2$ 中选出合适的 $x$ 的整数值代入求值．

（1）已知 $ΔABC$ ， $ΔADE$ 如图①摆放，点 $B$ ， $C$ ， $D$ 在同一条直线上， $∠ BAC = ∠ DAE = 90 °$ ， $∠ ABC = ∠ ADE = 45 °$ ．连接 $BE$ ，过点 $A$ 作 $AF ⊥ BD$ ，垂足为点 $F$ ，直线 $AF$ 交 $BE$ 于点 $G$ ．求证： $BG = EG$ ．

（2）已知 $ΔABC$ ， $ΔADE$ 如图②摆放， $∠ BAC = ∠ DAE = 90 °$ ， $∠ ACB = ∠ ADE = 30 °$ ．连接 $BE$ ， $CD$ ，过点 $A$ 作 $AF ⊥ BE$ ，垂足为点 $F$ ，直线 $AF$ 交 $CD$ 于点 $G$ ．求 $\frac{DG}{CG}$ 的值．

在平面直角坐标系中，抛物线 $y = x^{2} + 2 mx + 2 m^{2} - m$ 的顶点为 $A$ ．

（1）求顶点 $A$ 的坐标（用含有字母 $m$ 的代数式表示）；

（2）若点 $B (2, y_{B})$ ， $C (5, y_{C})$ 在抛物线上，且 $y_{B} > y_{C}$ ，则 $m$ 的取值范围是　 $m < - 3.5$ 　；（直接写出结果即可）

（3）当 $1 ⩽ x ⩽ 3$ 时，函数 $y$ 的最小值等于6，求 $m$ 的值．

如图， $AB$ 是 $⊙ O$ 直径，弦 $CD ⊥ AB$ ，垂足为点 $E$ ．弦 $BF$ 交 $CD$ 于点 $G$ ，点 $P$ 在 $CD$ 延长线上，且 $PF = PG$ ．

（1）求证： $PF$ 为 $⊙ O$ 切线；

（2）若 $OB = 10$ ， $BF = 16$ ， $BE = 8$ ，求 $PF$ 的长．