（年青海省西宁市）如图，已知BC为⊙O的直径，BA平分∠FB-优题课

如图，在 $Rt Δ ABC$ 中， $∠ ACB = 90 °$ ， $CD$ 是斜边 $AB$ 上的中线，以 $CD$ 为直径的 $⊙ O$ 分别交 $AC$ 、 $BC$ 于点 $M$ 、 $N$ ，过点 $N$ 作 $NE ⊥ AB$ ，垂足为 $E$ ．

（1）若 $⊙ O$ 的半径为 $\frac{5}{2}$ ， $AC = 6$ ，求 $BN$ 的长；

（2）求证： $NE$ 与 $⊙ O$ 相切．

某公司共有400名销售人员，为了解该公司销售人员某季度商品销售情况，随机抽取部分销售人员该季度的销售数量，并把所得数据整理后绘制成如下统计图表进行分析．

频数分布表

请根据以上信息，解决下列问题：

（1）频数分布表中， $a =$ 　　、 $b =$ 　　；

（2）补全频数分布直方图；

（3）如果该季度销量不低于80件的销售人员将被评为“优秀员工”，试估计该季度被评为“优秀员工”的人数．

已知抛物线 $y = a x^{2} + bx + c$ 与 $x$ 轴交于 $A (- 1, 0)$ ， $B (5, 0)$ 两点， $C$ 为抛物线的顶点，抛物线的对称轴交 $x$ 轴于点 $D$ ，连结 $BC$ ，且 $\tan ∠ CBD = \frac{4}{3}$ ，如图所示．

（1）求抛物线的解析式；

（2）设 $P$ 是抛物线的对称轴上的一个动点．

①过点 $P$ 作 $x$ 轴的平行线交线段 $BC$ 于点 $E$ ，过点 $E$ 作 $EF ⊥ PE$ 交抛物线于点 $F$ ，连结 $FB$ 、 $FC$ ，求 $ΔBCF$ 的面积的最大值；

②连结 $PB$ ，求 $\frac{3}{5} PC + PB$ 的最小值．

点 $P$ 是平行四边形 $ABCD$ 的对角线 $AC$ 所在直线上的一个动点（点 $P$ 不与点 $A$ 、 $C$ 重合），分别过点 $A$ 、 $C$ 向直线 $BP$ 作垂线，垂足分别为点 $E$ 、 $F$ ．点 $O$ 为 $AC$ 的中点．

（1）如图1，当点 $P$ 与点 $O$ 重合时，线段 $OE$ 和 $OF$ 的关系是　　；

（2）当点 $P$ 运动到如图2所示的位置时，请在图中补全图形并通过证明判断（1）中的结论是否仍然成立？

（3）如图3，点 $P$ 在线段 $OA$ 的延长线上运动，当 $∠ OEF = 30 °$ 时，试探究线段 $CF$ 、 $AE$ 、 $OE$ 之间的关系．

如图1， $AB$ 是半圆 $O$ 的直径， $AC$ 是一条弦， $D$ 是 $\hat{AC}$ 上一点， $DE ⊥ AB$ 于点 $E$ ，交 $AC$ 于点 $F$ ，连结 $BD$ 交 $AC$ 于点 $G$ ，且 $AF = FG$ ．

（1）求证：点 $D$ 平分 $\hat{AC}$ ；

（2）如图2所示，延长 $BA$ 至点 $H$ ，使 $AH = AO$ ，连结 $DH$ ．若点 $E$ 是线段 $AO$ 的中点．求证： $DH$ 是 $⊙ O$ 的切线．