如图，△ACB与△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠EC-优题课

如图，数轴上的点 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 表示的数分别为 $- 3$ ， $- 1$ ， 1 ， 2 ，从 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 四点中任意取两点，求所取两点之间的距离为 2 的概率．

如图1，四边形 $OABC$ 是矩形，点 $A$ 的坐标为 $(3, 0)$ ，点 $C$ 的坐标为 $(0, 6)$ ，点 $P$ 从点 $O$ 出发，沿 $OA$ 以每秒1个单位长度的速度向点 $A$ 运动，同时点 $Q$ 从点 $A$ 出发，沿 $AB$ 以每秒2个单位长度的速度向点 $B$ 运动，当点 $P$ 与点 $A$ 重合时运动停止．设运动时间为 $t$ 秒．

（1）当 $t = 2$ 时，线段 $PQ$ 的中点坐标为　　；

（2）当 $ΔCBQ$ 与 $ΔPAQ$ 相似时，求 $t$ 的值；

（3）当 $t = 1$ 时，抛物线 $y = x^{2} + bx + c$ 经过 $P$ ， $Q$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $M$ ，抛物线的顶点为 $K$ ，如图2所示，问该抛物线上是否存在点 $D$ ，使 $∠ MQD = \frac{1}{2} ∠ MKQ$ ？若存在，求出所有满足条件的 $D$ 的坐标；若不存在，说明理由．

问题呈现

如图1，在边长为1的正方形网格中，连接格点 $D$ ， $N$ 和 $E$ ， $C$ ， $DN$ 和 $EC$ 相交于点 $P$ ，求 $\tan ∠ CPN$ 的值．

方法归纳

求一个锐角的三角函数值，我们往往需要找出（或构造出）一个直角三角形．观察发现问题中 $∠ CPN$ 不在直角三角形中，我们常常利用网格画平行线等方法解决此类问题，比如连接格点 $M$ ， $N$ ，可得 $MN / / EC$ ，则 $∠ DNM = ∠ CPN$ ，连接 $DM$ ，那么 $∠ CPN$ 就变换到 $Rt Δ DMN$ 中．

问题解决

（1）直接写出图1中 $\tan ∠ CPN$ 的值为　2　；

（2）如图2，在边长为1的正方形网格中， $AN$ 与 $CM$ 相交于点 $P$ ，求 $\cos ∠ CPN$ 的值；

思维拓展

（3）如图3， $AB ⊥ BC$ ， $AB = 4 BC$ ，点 $M$ 在 $AB$ 上，且 $AM = BC$ ，延长 $CB$ 到 $N$ ，使 $BN = 2 BC$ ，连接 $AN$ 交 $CM$ 的延长线于点 $P$ ，用上述方法构造网格求 $∠ CPN$ 的度数．

“扬州漆器”名扬天下，某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒，成本为30元 $/$ 件，每天销售 $y$ （件 $)$ 与销售单价 $x$ （元 $)$ 之间存在一次函数关系，如图所示．

（1）求 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式；

（2）如果规定每天漆器笔筒的销售量不低于240件，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？

（3）该网店店主热心公益事业，决定从每天的销售利润中捐出150元给希望工程，为了保证捐款后每天剩余利润不低于3600元，试确定该漆器笔筒销售单价的范围．

如图，在 $ΔABC$ 中， $AB = AC$ ， $AO ⊥ BC$ 于点 $O$ ， $OE ⊥ AB$ 于点 $E$ ，以点 $O$ 为圆心， $OE$ 为半径作半圆，交 $AO$ 于点 $F$ ．

（1）求证： $AC$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）若点 $F$ 是 $OA$ 的中点， $OE = 3$ ，求图中阴影部分的面积；

（3）在（2）的条件下，点 $P$ 是 $BC$ 边上的动点，当 $PE + PF$ 取最小值时，直接写出 $BP$ 的长．