把下列各数在数轴上表示出来，并按从小到大的顺序用＜号连起来．-优题课

（1）计算： $4 \sin 60 ° - \sqrt{12} + {(2 - \sqrt{3})}^{0}$ ．

（2）解不等式： $5 x + 3 ⩾ 2 (x + 3)$ ．

【推理】

如图1，在正方形 $ABCD$ 中，点 $E$ 是 $CD$ 上一动点，将正方形沿着 $BE$ 折叠，点 $C$ 落在点 $F$ 处，连结 $BE$ ， $CF$ ，延长 $CF$ 交 $AD$ 于点 $G$ ．

（1）求证： $ΔBCE ≅ ΔCDG$ ．

【运用】

（2）如图2，在【推理】条件下，延长 $BF$ 交 $AD$ 于点 $H$ ．若 $\frac{HD}{HF} = \frac{4}{5}$ ， $CE = 9$ ，求线段 $DE$ 的长．

【拓展】

（3）将正方形改成矩形，同样沿着 $BE$ 折叠，连结 $CF$ ，延长 $CF$ ， $BF$ 交直线 $AD$ 于 $G$ ， $H$ 两点，若 $\frac{AB}{BC} = k$ ， $\frac{HD}{HF} = \frac{4}{5}$ ，求 $\frac{DE}{EC}$ 的值（用含 $k$ 的代数式表示）．

如图1，点 $C$ 是半圆 $O$ 的直径 $AB$ 上一动点（不包括端点）， $AB = 6 cm$ ，过点 $C$ 作 $CD ⊥ AB$ 交半圆于点 $D$ ，连结 $AD$ ，过点 $C$ 作 $CE / / AD$ 交半圆于点 $E$ ，连结 $EB$ ．牛牛想探究在点 $C$ 运动过程中 $EC$ 与 $EB$ 的大小关系．他根据学习函数的经验，记 $AC = xcm$ ， $EC = y_{1} cm$ ， $EB = y_{2} cm$ ．请你一起参与探究函数 $y_{1}$ 、 $y_{2}$ 随自变量 $x$ 变化的规律．

通过几何画板取点、画图、测量，得出如下几组对应值，并在图2中描出了以各对对应值为坐标的点，画出了不完整图象．

$x$	$\dots$	0.30	0.80	1.60	2.40	3.20	4.00	4.80	5.60	$\dots$
$y_{1}$	$\dots$	2.01	2.98	3.46	3.33	2.83	2.11	1.27	0.38	$\dots$
$y_{2}$	$\dots$	5.60	4.95	3.95	2.96	2.06	1.24	0.57	0.10	$\dots$

（1）当 $x = 3$ 时， $y_{1} =$ 　　．

（2）在图2中画出函数 $y_{2}$ 的图象，并结合图象判断函数值 $y_{1}$ 与 $y_{2}$ 的大小关系．

（3）由（2）知" $AC$ 取某值时，有 $EC = EB$ "．如图3，牛牛连结了 $OE$ ，尝试通过计算 $EC$ ， $EB$ 的长来验证这一结论，请你完成计算过程．

如图1是一座抛物线型拱桥侧面示意图．水面宽 $AB$ 与桥长 $CD$ 均为 $24 m$ ，在距离 $D$ 点6米的 $E$ 处，测得桥面到桥拱的距离 $EF$ 为 $1.5 m$ ，以桥拱顶点 $O$ 为原点，桥面为 $x$ 轴建立平面直角坐标系．

（1）求桥拱顶部 $O$ 离水面的距离．

（2）如图2，桥面上方有3根高度均为 $4 m$ 的支柱 $CG$ ， $OH$ ， $DI$ ，过相邻两根支柱顶端的钢缆呈形状相同的抛物线，其最低点到桥面距离为 $1 m$ ．

①求出其中一条钢缆抛物线的函数表达式．

②为庆祝节日，在钢缆和桥拱之间竖直装饰若干条彩带，求彩带长度的最小值．

如图，在 $ΔABC$ 中， $CA = CB$ ， $BC$ 与 $⊙ A$ 相切于点 $D$ ，过点 $A$ 作 $AC$ 的垂线交 $CB$ 的延长线于点 $E$ ，交 $⊙ A$ 于点 $F$ ，连结 $BF$ ．

（1）求证： $BF$ 是 $⊙ A$ 的切线．

（2）若 $BE = 5$ ， $AC = 20$ ，求 $EF$ 的长．