△ABC为锐角三角形，AD是边BC上的高，正方形EFGH的一-优题课

如图，抛物线 $y = {(x - 1)}^{2} + k$ 与 $x$ 轴相交于 $A$ ， $B$ 两点（点 $A$ 在点 $B$ 的左侧），与 $y$ 轴相交于点 $C (0, - 3)$ ． $P$ 为抛物线上一点，横坐标为 $m$ ，且 $m > 0$ ．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）当点 $P$ 位于 $x$ 轴下方时，求 $ΔABP$ 面积的最大值；

（3）设此抛物线在点 $C$ 与点 $P$ 之间部分（含点 $C$ 和点 $P)$ 最高点与最低点的纵坐标之差为 $h$ ．

①求 $h$ 关于 $m$ 的函数解析式，并写出自变量 $m$ 的取值范围；

②当 $h = 9$ 时，直接写出 $ΔBCP$ 的面积．

如图，在矩形 $ABCD$ 中， $AD = 4 cm$ ， $AB = 3 cm$ ， $E$ 为边 $BC$ 上一点， $BE = AB$ ，连接 $AE$ ．动点 $P$ 、 $Q$ 从点 $A$ 同时出发，点 $P$ 以 $\sqrt{2} cm / s$ 的速度沿 $AE$ 向终点 $E$ 运动；点 $Q$ 以 $2 cm / s$ 的速度沿折线 $AD - DC$ 向终点 $C$ 运动．设点 $Q$ 运动的时间为 $x (s)$ ，在运动过程中，点 $P$ ，点 $Q$ 经过的路线与线段 $PQ$ 围成的图形面积为 $y (c m^{2})$ ．

（1） $AE =$ 　　 $cm$ ， $∠ EAD =$ 　　 $°$ ；

（2）求 $y$ 关于 $x$ 的函数解析式，并写出自变量 $x$ 的取值范围；

（3）当 $PQ = \frac{5}{4} cm$ 时，直接写出 $x$ 的值．

性质探究

如图①，在等腰三角形 $ABC$ 中， $∠ ACB = 120 °$ ，则底边 $AB$ 与腰 $AC$ 的长度之比为　　．

理解运用

（1）若顶角为 $120 °$ 的等腰三角形的周长为 $8 + 4 \sqrt{3}$ ，则它的面积为　　；

（2）如图②，在四边形 $EFGH$ 中， $EF = EG = EH$ ．

①求证： $∠ EFG + ∠ EHG = ∠ FGH$ ；

②在边 $FG$ ， $GH$ 上分别取中点 $M$ ， $N$ ，连接 $MN$ ．若 $∠ FGH = 120 °$ ， $EF = 10$ ，直接写出线段 $MN$ 的长．

类比拓展

顶角为 $2 α$ 的等腰三角形的底边与一腰的长度之比为　　（用含 $α$ 的式子表示）．

甲、乙两车分别从 $A$ ， $B$ 两地同时出发，沿同一条公路相向行驶，相遇后，甲车继续以原速行驶到 $B$ 地，乙车立即以原速原路返回到 $B$ 地．甲、乙两车距 $B$ 地的路程 $y (km)$ 与各自行驶的时间 $x (h)$ 之间的关系如图所示．

（1） $m =$ 　　， $n =$ 　　；

（2）求乙车距 $B$ 地的路程 $y$ 关于 $x$ 的函数解析式，并写出自变量 $x$ 的取值范围；

（3）当甲车到达 $B$ 地时，求乙车距 $B$ 地的路程．

某地区有城区居民和农村居民共80万人．某机构准备采用抽取样本的方法调查该地区居民“获取信息的最主要途径”．

（1）该机构设计了以下三种调查方案：

方案一：随机抽取部分城区居民进行调查；

方案二：随机抽取部分农村居民进行调查；

方案三：随机抽取部分城区居民和部分农村居民进行调查．

其中最具有代表性的一个方案是　　；

（2）该机构采用了最具有代表性的调查方案进行调查．供选择的选项有：电脑、手机、电视、广播、其他，共五个选项．每位被调查居民只选择一个选项．现根据调查结果绘制如下统计图，请根据统计图回答下列问题：

①这次接受调查的居民人数为　　人；

②统计图中人数最多的选项为　　；

③请你估计该地区居民和农村居民将“电脑和手机”作为“获取信息的最主要途径”的总人数．