观察下列每对数在数轴上的对应点之间的距离：4与，3与5，与，-优题课

观察下列每对数在数轴上的对应点之间的距离：4与，3与5，与，与3．并回答下列各题：
（1）你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？答：．
（2）若数轴上的点A表示的数为x，点B表示的数为－1，则A与B两点间的距离可以表示为．
（3）结合数轴探求的最小值，并说明取得最小值时x的取值范围．

科目数学题型解答题难度较难

知识点：幂的乘方与积的乘方

如图，直线 $y = 5 x + 5$ 交 $x$ 轴于点 $A$ ，交 $y$ 轴于点 $C$ ，过 $A$ ， $C$ 两点的二次函数 $y = a x^{2} + 4 x + c$ 的图象交 $x$ 轴于另一点 $B$ ．

（1）求二次函数的表达式；

（2）连接 $BC$ ，点 $N$ 是线段 $BC$ 上的动点，作 $ND ⊥ x$ 轴交二次函数的图象于点 $D$ ，求线段 $ND$ 长度的最大值；

（3）若点 $H$ 为二次函数 $y = a x^{2} + 4 x + c$ 图象的顶点，点 $M (4, m)$ 是该二次函数图象上一点，在 $x$ 轴、 $y$ 轴上分别找点 $F$ ， $E$ ，使四边形 $HEFM$ 的周长最小，求出点 $F$ ， $E$ 的坐标．

温馨提示：在直角坐标系中，若点 $P$ ， $Q$ 的坐标分别为 $P (x_{1}$ ， $y_{1})$ ， $Q (x_{2}$ ， $y_{2})$ ，

当 $PQ$ 平行 $x$ 轴时，线段 $PQ$ 的长度可由公式 $PQ = | x_{1} - x_{2} |$ 求出；

当 $PQ$ 平行 $y$ 轴时，线段 $PQ$ 的长度可由公式 $PQ = | y_{1} - y_{2} |$ 求出．

（1）阅读理解：

如图①，在 $ΔABC$ 中，若 $AB = 10$ ， $AC = 6$ ，求 $BC$ 边上的中线 $AD$ 的取值范围．

解决此问题可以用如下方法：延长 $AD$ 到点 $E$ 使 $DE = AD$ ，再连接 $BE$ （或将 $ΔACD$ 绕着点 $D$ 逆时针旋转 $180 °$ 得到 $ΔEBD)$ ，把 $AB$ 、 $AC$ ， $2 AD$ 集中在 $ΔABE$ 中，利用三角形三边的关系即可判断．

中线 $AD$ 的取值范围是　　；

（2）问题解决：

如图②，在 $ΔABC$ 中， $D$ 是 $BC$ 边上的中点， $DE ⊥ DF$ 于点 $D$ ， $DE$ 交 $AB$ 于点 $E$ ， $DF$ 交 $AC$ 于点 $F$ ，连接 $EF$ ，求证： $BE + CF > EF$ ；

（3）问题拓展：

如图③，在四边形 $ABCD$ 中， $∠ B + ∠ D = 180 °$ ， $CB = CD$ ， $∠ BCD = 140 °$ ，以 $C$ 为顶点作一个 $70 °$ 角，角的两边分别交 $AB$ ， $AD$ 于 $E$ 、 $F$ 两点，连接 $EF$ ，探索线段 $BE$ ， $DF$ ， $EF$ 之间的数量关系，并加以证明．

如图， $⊙ O$ 是 $ΔABC$ 的外接圆， $AB$ 是 $⊙ O$ 的直径， $AB = 8$ ．

（1）利用尺规，作 $∠ CAB$ 的平分线，交 $⊙ O$ 于点 $D$ ；（保留作图痕迹，不写作法）

（2）在（1）的条件下，连接 $CD$ ， $OD$ ，若 $AC = CD$ ，求 $∠ B$ 的度数；

（3）在（2）的条件下， $OD$ 交 $BC$ 于点 $E$ ，求由线段 $ED$ ， $BE$ ， $\hat{BD}$ 所围成区域的面积．（其中 $\hat{BD}$ 表示劣弧，结果保留 $π$ 和根号）

如图，在平面直角坐标系中，菱形 $OBCD$ 的边 $OB$ 在 $x$ 轴上，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象经过菱形对角线的交点 $A$ ，且与边 $BC$ 交于点 $F$ ，点 $A$ 的坐标为 $(4, 2)$ ．

（1）求反比例函数的表达式；

（2）求点 $F$ 的坐标．

“蘑菇石”是我省著名自然保护区梵净山的标志，小明从山脚 $B$ 点先乘坐缆车到达观景平台 $DE$ 观景，然后再沿着坡脚为 $29 °$ 的斜坡由 $E$ 点步行到达“蘑菇石” $A$ 点，“蘑菇石” $A$ 点到水平面 $BC$ 的垂直距离为 $1790 m$ ．如图， $DE / / BC$ ， $BD = 1700 m$ ， $∠ DBC = 80 °$ ，求斜坡 $AE$ 的长度．（结果精确到 $0.1 m)$