如图，不用量角器，在方格纸中画出△ABC绕点B顺时针方向旋转-优题课

某校积极落实“双减”政策，将要开设拓展课程．为让学生可以根据自己的兴趣爱好选择最喜欢的课程，进行问卷调查，问卷设置以下四种选项：A（综合模型）、B（摄影艺术）、C（音乐鉴赏）、D（劳动实践），随机抽取了部分学生进行调查，每名学生必须且只能选择其中最喜欢的一种课程，并将调查结果整理绘制成如下不完整的统计图．

根据以上信息，解答下列问题：

（1）此次被调查的学生人数为＿＿＿＿＿＿名；

（2）补全条形统计图；

（3）求拓展课程D（劳动实践）所对应的扇形的圆心角的度数；

（4）根据抽样调查结果，请你估计该校 $800$ 名学生中，有多少名学生最喜欢C（音乐鉴赏）拓展课程．

如图，在 $△ A B C$ 中， $A D$ 是 $△ A B C$ 的角平分线，分别以点 $A ， D$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2} A D$ 的长为半径作弧，两弧交于点 $M ， N$ ，作直线 $M N$ ，分别交 $A B ， A D$ ， $A C$ 于点 $E ， O ， F$ ，连接 $D E ， D F$ ．

（1）由作图可知，直线 $M N$ 是线段 $A D$ 的＿＿＿＿＿＿．

（2）求证：四边形AEDF是菱形．

为了调动同学们学习数学的积极性，班内组织开展了“数学小先生”讲题比赛，老师将四道备讲题的题号 $1 ， 2 ， 3 ， 4$ ，分别写在完全相同的 $4$ 张卡片的正面，将卡片背面朝上洗匀．

（1）随机抽取一张卡片，卡片上的数字是“ $4$ ”的概率是＿＿＿＿＿＿；

（2）小明随机抽取两张卡片，用画树状图或列表的方法求两张卡片上的数字是“ $2$ ”和“ $3$ ”的概率．

计算： $\sqrt{12} - 3 \tan 30 ° +$ $（ \frac{1}{2} ）^{﹣ 2} +$ | $|\sqrt{3} - 2|$ ．

抛物线的解析式是 $y ＝ ﹣ x^{2} + 4 x + a$ ．直线 $y ＝ ﹣ x + 2$ 与 $x$ 轴交于点 $M$ ，与 $y$ 轴交于点 $E$ ，点 $F$ 与直线上的点 $G （ 5 ， ﹣ 3 ）$ 关于 $x$ 轴对称．

（1）如图①，求射线 $M F$ 的解析式；

（2）在（1）的条件下，当抛物线与折线EMF有两个交点时，设两个交点的横坐标是 $x_{1}$ ， $x_{2} （ x_{1} ＜ x_{2} ）$ ，求 $x_{1} + x_{2}$ 的值；

（3）如图②，当抛物线经过点 $C （ 0 ， 5 ）$ 时，分别与 $x$ 轴交于 $A ， B$ 两点，且点 $A$ 在点 $B$ 的左侧．在 $x$ 轴上方的抛物线上有一动点 $P$ ，设射线 $A P$ 与直线 $y ＝ ﹣ x + 2$ 交于点 $N$ ．求 $\frac{PN}{AN}$ 的最大值．