在平面直角坐标系中，以
为极点，
轴非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线
的极坐标方程为
直线
的参数方程为
（
为参数），直线
与曲线
交于
，
两点．
（1）写出曲线
的直角坐标方程和直线的普通方程
（2）若
求
的值
已知△
的两个顶点
的坐标分别是
，且
所在直线的斜率之积等于
．
（Ⅰ）求顶点
的轨迹
的方程，并判断轨迹为何种圆锥曲线；
（Ⅱ）当
时，过点
的直线
交曲线于
两点，设点
关于
轴的对称
点为
(
不重合) 试问：直线
与
轴的交点是否是定点？若是，求出定点，若不是，请说明理由.
如图是在竖直平面内的一个“通道游戏”．图中竖直线段和斜线段都表示通道，并且在交点处相遇，若竖直线段有一条的为第一层，有二条的为第二层， ，依次类推．现有一颗小弹子从第一层的通道里向下运动，若在通道的分叉处，小弹子以相同的概率落入每个通道．记小弹子落入第
层第
个竖直通道（从左至右）的概率为
，某研究性学习小组经探究发现小弹子落入第
层的第
个通道的次数服从二项分布，请你解决下列问题.
（Ⅰ）试求
及
的值，并猜想的表达式；（不必证明）
（Ⅱ）设小弹子落入第6层第个竖直通道得到分数为
，其中
，试求的分布列及数学期望．
如图，在长方体
中，已知上下两底面为正方形，且边长均为1；侧棱
，
为
中点，
为
中点，
为
上一个动点.
（Ⅰ）确定点的位置，使得
；
（Ⅱ）当时，求二面角
的平面角余弦值.
已知等差数列
的首项
，公差
．且
分别是等比数列
的
．
（Ⅰ）求数列
与的通项公式；
（Ⅱ）设数列
对任意自然数
均有
成立，求
的值.
已知A、B、C为
的三个内角且向量
与
共线.
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）设角
的对边分别是
，且满足
，试判断
的形状．