已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）若对于任意的恒成立，-优题课

为了考察冰川的融化状况,一支科考队在某冰川上相距8 $k m$ 的 $A, B$ 两点各建一个考察基地.视冰川面为平面形,以过 $A, B$ 两点的直线为 $x$ 轴,线段 $A B$ 的的垂直平分线为 $y$ 轴建立平面直角坐标系在直线 $x = 2$ 的右侧,考察范围为到点 $B$ 的距离不超过 $\frac{6 \sqrt{5}}{5} k m$ 区域;在直线 $x = 2$ 的左侧,考察范围为到 $A, B$ 两点的距离之和不超过 $4 \sqrt{5} k m$ 区域.

（Ⅰ）求考察区域边界曲线的方程；
（Ⅱ）如图所示,设线段 $P_{1} P_{2}, P_{2} P_{3}$ 是冰川的部分边界线(不考虑其他边界线),当冰川融化时,边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动,第一年移动0.2 $k m$ ,以后每年移动的距离为前一年的2倍,求冰川边界线移动到考察区域所需的最短时间.

如图所示，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中, $E$ 是棱 $D D_{1}$ 的中点.

（Ⅰ）求直线 $B E$ 的平面 $A B B_{1} A_{1}$ 所成的角的正弦值；
（II）在棱 $C_{1} D_{1}$ 上是否存在一点 $F$ ，使 $B_{1} F ∥$ 平面 $A_{1} B E$ ,证明你的结论.

下图是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量（单位：吨）的频率分布直方图

（Ⅰ）求直方图中 $x$ 的值
（II）若将频率视为概率，从这个城市随机抽取3位居民（看作有放回的抽样），求月均用水量在3至4吨的居民数 $x$ 的分布列和数学期望。

如图，在五棱锥 $P - A B C D E$ 中， $P A ⊥ 平面 A B C D E$ ， $A B ∥ C D$ ， $A C ∥ E D$ ， $A E ∥ B C$ ， $∠ A B C = 45 °$ ， $A B = 2 \sqrt{2}$ ， $B C = 2 A E = 4$ ，三角形 $P A B$ 是等腰三角形．

（Ⅰ）求证： $平面 P C D ⊥ 平面 P A C$ ；
（Ⅱ）求直线 $P B$ 与平面 $P C D$ 所成角的大小；
（Ⅲ）求四棱锥 $P - A C D E$ 的体积．

如图，已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点 $F_{1}, F_{2}$ 为顶点的三角形的周长为 $4 (\sqrt{2} + 1)$ .一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设 $P$ 为该双曲线上异于顶点的任一点，直线 $P F_{1}$ 和 $P F_{2}$ 与椭圆的交点分别为 $A, B$ 和 $C, D$ .

（Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；
（Ⅱ）设直线 $P F_{1}$ 、 $P F_{2}$ 的斜率分别为 $k_{1}$ 、 $k_{2}$ ，证明 $k_{1} k_{2} = 1$ ；
（Ⅲ）是否存在常数 $λ$ ，使得 $|A B| + |C D| = λ |A B| \cdot |C D|$ 恒成立？若存在，求 $λ$ 的值；若不存在，请说明理由.