如图，已知抛物线的对称轴为直线，交轴于、两点，交轴于点，其中-优题课

如图，已知抛物线的对称轴为直线，交轴于、两点，交轴于点，其中点的坐标为（3，0）。

（1）直接写出点的坐标；
（2）求二次函数的解析式。

科目数学题型计算题难度中等

知识点：二次函数在给定区间上的最值

2016年6月19日是父亲节，某商店老板统计了这四年父亲节当天剃须刀销售情况，以下是根据该商店剃须刀销售的相关数据所绘制统计图的一部分．

请根据图1、图2解答下列问题：

（1）近四年父亲节当天剃须刀销售总额一共是5.8万元，请将图1中的统计图补充完整；

（2）计算该店2015年父亲节当天甲品牌剃须刀的销售额．

先化简，再求值： $a (a - 2 b) + {(a + b)}^{2}$ ，其中 $a = - 1$ ， $b = \sqrt{2}$ ．

如图1，抛物线 $y = a x^{2} + (a + 3) x + 3 (a \neq 0)$ 与 $x$ 轴交于点 $A (4, 0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $B$ ，在 $x$ 轴上有一动点 $E (m$ ， $0) (0 < m < 4)$ ，过点 $E$ 作 $x$ 轴的垂线交直线 $AB$ 于点 $N$ ，交抛物线于点 $P$ ，过点 $P$ 作 $PM ⊥ AB$ 于点 $M$ ．

（1）求 $a$ 的值和直线 $AB$ 的函数表达式；

（2）设 $ΔPMN$ 的周长为 $C_{1}$ ， $ΔAEN$ 的周长为 $C_{2}$ ，若 $\frac{C_{1}}{C_{2}} = \frac{6}{5}$ ，求 $m$ 的值；

（3）如图2，在（2）条件下，将线段 $OE$ 绕点 $O$ 逆时针旋转得到 $OE'$ ，旋转角为 $α (0 ° < α < 90 °)$ ，连接 $E' A$ 、 $E' B$ ，求 $E' A + \frac{2}{3} E' B$ 的最小值．

在学习了图形的旋转知识后，数学兴趣小组的同学们又进一步对图形旋转前后的线段之间、角之间的关系进行了探究．

（一）尝试探究

如图1，在四边形 $ABCD$ 中， $AB = AD$ ， $∠ BAD = 60 °$ ， $∠ ABC = ∠ ADC = 90 °$ ，点 $E$ 、 $F$ 分别在线段 $BC$ 、 $CD$ 上， $∠ EAF = 30 °$ ，连接 $EF$ ．

（1）如图2，将 $ΔABE$ 绕点 $A$ 逆时针旋转 $60 °$ 后得到△ $A' B' E' (A' B'$ 与 $AD$ 重合），请直接写出 $∠ E' AF =$ 　　度，线段 $BE$ 、 $EF$ 、 $FD$ 之间的数量关系为　　．

（2）如图3，当点 $E$ 、 $F$ 分别在线段 $BC$ 、 $CD$ 的延长线上时，其他条件不变，请探究线段 $BE$ 、 $EF$ 、 $FD$ 之间的数量关系，并说明理由．

（二）拓展延伸

如图4，在等边 $ΔABC$ 中， $E$ 、 $F$ 是边 $BC$ 上的两点， $∠ EAF = 30 °$ ， $BE = 1$ ，将 $ΔABE$ 绕点 $A$ 逆时针旋转 $60 °$ 得到△ $A' B' E' (A' B'$ 与 $AC$ 重合），连接 $EE'$ ， $AF$ 与 $EE'$ 交于点 $N$ ，过点 $A$ 作 $AM ⊥ BC$ 于点 $M$ ，连接 $MN$ ，求线段 $MN$ 的长度．

如图1， $▱ OABC$ 的边 $OC$ 在 $x$ 轴的正半轴上， $OC = 5$ ，反比例函数 $y = \frac{m}{x} (x > 0)$ 的图象经过点 $A (1, 4)$ ．

（1）求反比例函数的关系式和点 $B$ 的坐标；

（2）如图2，过 $BC$ 的中点 $D$ 作 $DP / / x$ 轴交反比例函数图象于点 $P$ ，连接 $AP$ 、 $OP$ ．

①求 $ΔAOP$ 的面积；

②在 $▱ OABC$ 的边上是否存在点 $M$ ，使得 $ΔPOM$ 是以 $PO$ 为斜边的直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的点 $M$ 的坐标；若不存在，请说明理由．