解方程：（1）（2）．-优题课

为了解学生对校园网站五个栏目的喜爱情况（规定每名学生只能选一个最喜爱的），学校随机抽取了部分学生进行调查，将调查结果整理后绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合图中提供的信息解答下列问题：

（1）本次被调查的学生有　　人，扇形统计图中 $m =$ 　　；

（2）将条形统计图补充完整；

（3）若该校有1800名学生，估计全校最喜爱“校长信箱”栏目的学生有多少人？

（4）若从3名最喜爱“校长信箱”栏目的学生和1名最喜爱“时事政治”栏目的学生中随机抽取两人参与校园网站的编辑工作，用列表或画树状图的方法求所抽取的两人都最喜爱“校长信箱”栏目的概率．

如图，在平面直角坐标系中，二次函数 $y = \frac{1}{3} x^{2} + bx + c$ 的图象经过平行四边形 $ABCD$ 的顶点 $B$ ， $D (5, 2) DE ⊥ x$ 轴，垂足为点 $E$ ．点 $A$ 在 $y$ 轴正半轴上，点 $B$ 在 $x$ 轴负半轴上，点 $C$ 在 $x$ 轴正半轴上，且 $\tan ∠ BAO = \frac{1}{2}$ ．

（1）求二次函数的表达式，并判断点 $C$ 是否在该函数图象上；

（2）点 $F$ 是线段 $AD$ 上一点，在线段 $AD$ 下方作 $∠ HFK = 90 °$ ．

①当点 $F$ 运动时，使 $∠ HFK$ 的一边 $FH$ 始终过点 $O$ ，另一边 $FK$ 交射线 $DE$ 于点 $N$ ，（不含点 $D$ 与 $N$ 重合的情形）设 $AF = n$ ， $DN = m$ ，求 $m$ 关于 $n$ 的函数关系式，并求出 $m$ 的取值范围．

②当 $AF = 1$ 时，将 $∠ HFK$ 绕点 $F$ 旋转，一条边 $FH$ 交线段 $OA$ 于点 $P$ ，另一条边 $FK$ 交线段 $OE$ 于点 $Q$ ，连接 $PQ$ ，以 $PQ$ 为直径作 $⊙ M$ ，设圆心 $M$ 的坐标为 $(x, y)$ ，求 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式，并直接写出点 $P$ 从点 $O$ 运动到点 $A$ 时圆心 $M$ 运动的路径长．

如图，在 $ΔABC$ 中， $AC = BC$ ，点 $F$ 从点 $B$ 向点 $C$ 运动，点 $E$ 从点 $A$ 沿射线 $CA$ 方向运动，且 $BF = AE$ ，连接 $EF$ 交 $AB$ 于 $D$ ．

（1）如图1，当 $AB = BC$ 时，求证： $AB = 2 AD + BF$ ；

（2）如图2，当 $AB = \frac{2}{3} BC$ 时，① $AD = 6$ ， $BF = \frac{15}{2}$ ，则 $AB =$ 　　；

②过点 $F$ 作 $FP ⊥ AB$ 于点 $P$ ，探究线段 $AB$ ， $AD$ ， $FP$ 之间的数量关系，直接写出结论，不需证明．

某手工编织厂生产一种旅游纪念品，现有60名工人进行手工编织（每人编织的效率相同），2天后抽出10名工人执行其他任务，其余工人继续编织生产；2天后从编织的工人中再抽出10名进行销售（每人每天的销售量相同）．已知每人每天的销售量是编织量的5倍，下图是产品库存量 $y$ （件 $)$ 与生产时间 $x$ （天 $)$ 之间的函数关系图象．

（1）解释点 $B$ 的实际意义；

（2）求每人每天的编织量和销售量；

（3）求 $CD$ 段所在的直线的函数表达式，并求出多少天后剩余库存量低于生产前的库存量．

如图，在 $Rt Δ ABC$ 中， $∠ BAC = 90 °$ ，以 $AB$ 为直径的 $⊙ O$ 交 $BC$ 于点 $E$ ，且点 $E$ 是 $\hat{AD}$ 的中点，连接 $AD$ 交 $BE$ 于点 $F$ ，连接 $EA$ ， $ED$ ．

（1）求证： $AC = AF$ ；

（2）若 $EF = 2$ ， $BF = 8$ ，求 $AF$ 的长．