甲、乙两同学在一次百米赛跑中，路程S（米）与时间t（秒）之间-优题课

甲、乙两同学在一次百米赛跑中，路程S（米）与时间t（秒）之间的关系如图所示．根据图象回答下列问题：

（1）3.8秒时，哪位同学处于领先位置？
（2）在这次赛跑中，哪位同学先到达终点？比另一个同学早多少时间到达？约几秒后哪位同学被哪位同学追上？
（3）甲同学所走的路程S（米）与时间t（秒）之间的函数关系式．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：一次函数的最值

如图，在 $Rt Δ ABC$ 中， $∠ ACB = 90 °$ ， $∠ A = 30 °$ ，点 $O$ 为 $AB$ 中点，点 $P$ 为直线 $BC$ 上的动点（不与点 $B$ 、点 $C$ 重合），连接 $OC$ 、 $OP$ ，将线段 $OP$ 绕点 $P$ 顺时针旋转 $60 °$ ，得到线段 $PQ$ ，连接 $BQ$ ．

（1）如图1，当点 $P$ 在线段 $BC$ 上时，请直接写出线段 $BQ$ 与 $CP$ 的数量关系．

（2）如图2，当点 $P$ 在 $CB$ 延长线上时，（1）中结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由；

（3）如图3，当点 $P$ 在 $BC$ 延长线上时，若 $∠ BPO = 15 °$ ， $BP = 4$ ，请求出 $BQ$ 的长

如图，在等腰 $ΔABC$ 中， $AB = BC$ ，以 $BC$ 为直径的 $⊙ O$ 与 $AC$ 相交于点 $D$ ，过点 $D$ 作 $DE ⊥ AB$ 交 $CB$ 延长线于点 $E$ ，垂足为点 $F$ ．

（1）判断 $DE$ 与 $⊙ O$ 的位置关系，并说明理由；

（2）若 $⊙ O$ 的半径 $R = 5$ ， $\tan C = \frac{1}{2}$ ，求 $EF$ 的长．

端午节前夕，三位同学到某超市调研一种进价为80元的粽子礼盒的销售情况，请根据小梅提供的信息，解答小慧和小杰提出的问题．（价格取正整数）

如图，在平面直角坐标系中，直线 $l : y = - \frac{\sqrt{3}}{3} x + 4$ 与 $x$ 轴、 $y$ 轴分别交于点 $M$ ， $N$ ，高为3的等边三角形 $ABC$ ，边 $BC$ 在 $x$ 轴上，将此三角形沿着 $x$ 轴的正方向平移，在平移过程中，得到△ $A_{1} B_{1} C_{1}$ ，当点 $B_{1}$ 与原点重合时，解答下列问题：

（1）求出点 $A_{1}$ 的坐标，并判断点 $A_{1}$ 是否在直线 $l$ 上；

（2）求出边 $A_{1} C_{1}$ 所在直线的解析式；

（3）在坐标平面内找一点 $P$ ，使得以 $P$ 、 $A_{1}$ 、 $C_{1}$ 、 $M$ 为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出 $P$ 点坐标．

如今很多初中生购买饮品饮用，既影响身体健康又给家庭增加不必要的开销，为此数学兴趣小组对本班同学一天饮用饮品的情况进行了调查，大致可分为四种：

$A$ ：自带白开水； $B$ ：瓶装矿泉水； $C$ ：碳酸饮料； $D$ ：非碳酸饮料．

根据统计结果绘制如下两个统计图，根据统计图提供的信息，解答下列问题：

（1）这个班级有多少名同学？并补全条形统计图．

（2）若该班同学每人每天只饮用一种饮品（每种仅限1瓶，价格如下表），则该班同学用于饮品上的人均花费是多少元？

饮品名称	自带白开水	瓶装矿泉水	碳酸饮料	非碳酸饮料
平均价格（元 $/$ 瓶）	0	2	3	4

（3）若我市约有初中生4万人，估计我市初中生每天用于饮品上的花费是多少元？

（4）为了养成良好的生活习惯，班主任决定在自带白开水的5名同学（男生2人，女生3人）中随机抽取2名同学做良好习惯监督员，请用列表法或树状图法求出恰好抽到2名女生的概率．