若m、n满足，则．-优题课

如图，边长为4的等边 $ΔABC$ ， $AC$ 边在 $x$ 轴上，点 $B$ 在 $y$ 轴的正半轴上，以 $OB$ 为边作等边 $ΔOB A_{1}$ ，边 $O A_{1}$ 与 $AB$ 交于点 $O_{1}$ ，以 $O_{1} B$ 为边作等边△ $O_{1} B A_{2}$ ，边 $O_{1} A_{2}$ 与 $A_{1} B$ 交于点 $O_{2}$ ，以 $O_{2} B$ 为边作等边△ $O_{2} B A_{3}$ ，边 $O_{2} A_{3}$ 与 $A_{2} B$ 交于点 $O_{3}$ ， $\dots$ ，依此规律继续作等边△ $O_{n - 1} B A_{n}$ ，记△ $O O_{1} A$ 的面积为 $S_{1}$ ，△ $O_{1} O_{2} A_{1}$ 的面积为 $S_{2}$ ，△ $O_{2} O_{3} A_{2}$ 的面积为 $S_{3}$ ， $\dots$ ，△ $O_{n - 1} O_{n} A_{n - 1}$ 的面积为 $S_{n}$ ，则 $S_{n} =$ 　　． $(n ⩾ 2$ ，且 $n$ 为整数）

如图，在矩形 $ABCD$ 中， $AB = 3$ ， $BC = 2$ ， $M$ 是 $AD$ 边的中点， $N$ 是 $AB$ 边上的动点，将 $ΔAMN$ 沿 $MN$ 所在直线折叠，得到△ $A' MN$ ，连接 $A' C$ ，则 $A' C$ 的最小值是　　．

如图，将一个含 $30 °$ 角的三角尺 $ABC$ 放在直角坐标系中，使直角顶点 $C$ 与原点 $O$ 重合，顶点 $A$ ， $B$ 分别在反比例函数 $y = - \frac{4}{x}$ 和 $y = \frac{k}{x}$ 的图象上，则 $k$ 的值为　　．

甲、乙两地相距 $1000 km$ ，如果乘高铁列车从甲地到乙地比乘特快列车少用 $3 h$ ，已知高铁列车的平均速度是特快列车的1.6倍，设特快列车的平均速度为 $xkm / h$ ，根据题意可列方程为　　．

如图，正六边形 $ABCDEF$ 内接于 $⊙ O$ ，边长 $AB = 2$ ，则扇形 $AOB$ 的面积为　　．